高等数学精解【7】

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• 直线与二元一次方程
• • 两直线夹角

直线与二元一次方程

两直线夹角

• 两直线 y 1 = k 1 x + b 1 , y 2 = k 2 x + b 2 形成夹角 a 1 和 a 2 ，两个角都可作为夹角，取其即可，但通常来说，取正值的角 a 1 两直线y_1=k_1x+b_1,y_2=k_2x+b_2形成夹角a1和a2，两个角都可作为夹角，取其即可，但通常来说，取正值的角a1 两直线y1​=k1​x+b1​,y2​=k2​x+b2​形成夹角a1和a2，两个角都可作为夹角，取其即可，但通常来说，取正值的角a1
  

  如上图所示 : a 1 + ( − a 2 ) = π , b + a 1 = a 2 , a 1 = a 2 − b 如上图所示:a1+(-a2)=\pi,b+a1=a2,a1=a2-b 如上图所示:a1+(−a2)=π,b+a1=a2,a1=a2−b

• t g ( a 2 ) = t g ( a 1 ± π ) = t g ( a 1 ) tg(a2)=tg(a1\pm\pi)=tg(a1) tg(a2)=tg(a1±π)=tg(a1)

• t g ( a ) = k 2 − k 1 1 + k 2 k 1 tg(a)=\frac {k_2-k_1}{1+k_2k_1} tg(a)=1+k2​k1​k2​−k1​​

• 两直线的夹角问题是解析几何中的一个基本问题。
  为了求解两直线的夹角，我们首先需要明确两直线的方程，并转化为斜截式或一般式。然后，我们可以利用直线的斜率（如果存在）或方向向量的夹角来求解。

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方法一：利用斜率（当直线斜率存在时）

假设两直线的方程分别为： y = k 1 x + b 1 y = k_1x + b_1 y=k1​x+b1​ y = k 2 x + b 2 y = k_2x + b_2 y=k2​x+b2​ 其中， k 1 k_1 k1​ 和
k 2 k_2 k2​ 是两直线的斜率， b 1 b_1 b1​ 和 b 2 b_2 b2​ 是截距。

1. 计算斜率差： 斜率差 Δ k = k 2 − k 1 \Delta k = k_2 - k_1 Δk=k2​−k1​。

2. 利用斜率计算夹角： 两直线的夹角 θ \theta θ 可以通过以下公式计算（注意，这里计算的是锐角或直角，如果需要钝角，则取补角）： tan ⁡ θ = ∣ k 2 − k 1 1 + k 1 k 2 ∣ \tan \theta = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1k_2} \right| tanθ= ​1+k1​k2​k2​−k1​​ ​ 然后，利用反正切函数 arctan ⁡ \arctan arctan 求出
   θ \theta θ 的值（注意， arctan ⁡ \arctan arctan 的值域是 ( − π 2 , π 2 ) (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) (−2π​,2π​)，因此可能需要调整结果以匹配实际情况）。

   如果 θ \theta θ 是以度为单位，可以使用 θ = degrees ( arctan ⁡ ( ⋯   ) ) \theta = \text{degrees}(\arctan(\cdots)) θ=degrees(arctan(⋯))
   进行转换。

方法二：利用方向向量（当直线方程为一般式时）

如果直线方程为一般式 A x + B y + C = 0 Ax + By + C = 0 Ax+By+C=0，则直线的方向向量可以由系数 A A A 和 B B B 决定，即 v ⃗ = ( B , − A ) \vec{v} = (B, -A) v =(B,−A)（注意，这里的方向向量不是唯一的，因为任何非零标量倍数的向量都表示相同的方向）。

1. 求两直线的方向向量： 假设两直线的方程分别为 A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A_1x + B_1y + C_1 = 0 A1​x+B1​y+C1​=0 和 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 A_2x + B_2y + C_2 = 0 A2​x+B2​y+C2​=0，则它们的方向向量分别为 v 1 ⃗ = ( B 1 , − A 1 ) \vec{v_1} = (B_1, -A_1) v1​ ​=(B1​,−A1​) 和 v 2 ⃗ = ( B 2 , − A 2 ) \vec{v_2} = (B_2, -A_2) v2​ ​=(B2​,−A2​)。

2. 计算两向量的点积和模长： 点积 v 1 ⃗ ⋅ v 2 ⃗ = B 1 B 2 + ( − A 1 ) ( − A 2 ) = A 1 A 2 + B 1 B 2 \vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = B_1B_2 + (-A_1)(-A_2) = A_1A_2 + B_1B_2 v1​ ​⋅v2​ ​=B1​B2​+(−A1​)(−A2​)=A1​A2​+B1​B2​。 模长 ∣ v 1 ⃗ ∣ = A 1 2 + B 1 2 |\vec{v_1}| = \sqrt{A_1^2 + B_1^2} ∣v1​ ​∣=A12​+B12​ ​， ∣ v 2 ⃗ ∣ = A 2 2 + B 2 2 |\vec{v_2}| = \sqrt{A_2^2 + B_2^2} ∣v2​ ​∣=A22​+B22​ ​。

3. 利用夹角公式： 两向量的夹角 θ \theta θ 可以通过以下公式计算： cos ⁡ θ = v 1 ⃗ ⋅ v 2 ⃗ ∣ v 1 ⃗ ∣ ⋅ ∣ v 2 ⃗ ∣ = A 1 A 2 + B 1 B 2 A 1 2 + B 1 2 A 2 2 + B 2 2 \cos \theta = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|} = \frac{A_1A_2 + B_1B_2}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2} \sqrt{A_2^2 + B_2^2}} cosθ=∣v1​ ​∣⋅∣v2​ ​∣v1​ ​⋅v2​ ​​=A12​+B12​ ​A22​+B22​ ​A1​A2​+B1​B2​​
   然后，利用反余弦函数 arccos ⁡ \arccos arccos 求出 θ \theta θ 的值。

注意

• 当直线垂直于x轴时，斜率不存在，此时应直接利用方向向量或直线的特殊性质求解。
• 夹角 θ \theta θ 的取值范围通常是 [ 0 , π 2 ] [0, \frac{\pi}{2}] [0,2π​]，但根据题目要求，可能需要考虑钝角的情况。
• 在实际应用中，可能需要根据具体情况选择最合适的方法。

• 两直线 y 1 = 8 x + 9 与 y 2 = − 3 x − 5 的交角 a = ? y_1=8x+9与y_2=-3x-5的交角a=? y1​=8x+9与y2​=−3x−5的交角a=?
  k 1 = 8 , k 2 = − 3 t g ( a ) = k 2 − k 1 1 + k 2 k 1 = − 3 − 8 1 + ( − 3 × 8 ) = − 11 1 − 24 = 11 23 k_1=8,k_2=-3 \\tg(a)=\frac {k_2-k_1}{1+k_2k_1} \\=\frac {-3-8}{1+(-3\times8)} \\=\frac {-11}{1-24}=\frac {11} {23} k1​=8,k2​=−3tg(a)=1+k2​k1​k2​−k1​​=1+(−3×8)−3−8​=1−24−11​=2311​

# 计算11/23的反正切值，并将结果从弧度转换为度  
x = 11/23 
y_rad = atan(x)  
y_deg = rad2deg(y_rad)  
  
println("The arctan of ", x, " in radians is ", y_rad)  
println("The arctan of ", x, " in degrees is ", y_deg)

The arctan of 0.4782608695652174 in radians is 0.44610554894340365
The arctan of 0.4782608695652174 in degrees is 25.559965171823812
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a = 25.5 6 ∘ a= 25.56^\circ a=25.56∘

• 两直线 y 1 = − 8 x + 9 与 y 2 = 3 x − 5 的交角 a = ? y_1=-8x+9与y_2=3x-5的交角a=? y1​=−8x+9与y2​=3x−5的交角a=?
  k 1 = − 8 , k 2 = 3 t g ( a ) = k 2 − k 1 1 + k 2 k 1 = 3 + 8 1 + 3 × ( − 8 ) = 11 1 − 24 = − 11 23 a r c t a n ( − 11 / 23 ) = − 0.45 k_1=-8,k_2=3 \\tg(a)=\frac {k_2-k_1}{1+k_2k_1} \\=\frac {3+8}{1+3\times(-8)} \\=\frac {11}{1-24}=-\frac {11} {23} \\arctan(-11/23)=-0.45 k1​=−8,k2​=3tg(a)=1+k2​k1​k2​−k1​​=1+3×(−8)3+8​=1−2411​=−2311​arctan(−11/23)=−0.45

# 计算-11/23的反正切值，并将结果从弧度转换为度  
x =-11/23 
y_rad = atan(x)  
y_deg = rad2deg(y_rad)  
  
println("The arctan of ", x, " in radians is ", y_rad)  
println("The arctan of ", x, " in degrees is ", y_deg)

The arctan of -0.4782608695652174 in radians is -0.44610554894340365
The arctan of -0.4782608695652174 in degrees is -25.559965171823812

a 1 + ( − a 2 ) = π , a 1 − ( − 25.56 ) = 180 , a 1 = 154.4 4 ∘ a1+(-a2)=\pi,a1-(-25.56)=180,a1=154.44^\circ a1+(−a2)=π,a1−(−25.56)=180,a1=154.44∘