【数学】计算几何

1. 计算几何基础

1.1 平面直角坐标系与极坐标系

平面直角坐标系下，点用 \((x,y)\)表示，直线用 \(y=kx+b\) 表示，函数同理。

极坐标系，是指在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。

在平面上选一定点 \(O\) ，称为 极点 ，自极点引出一条射线 \(Ox\) ，称为 极轴 ，再选择一个单位长度（在数学问题中通常为 \(1\) ），一个角度单位（通常为弧度）及其正方向（通常为逆时针方向），这样就建立了 极坐标系。

极点 O 与 A 之间的距离 \(|OA|\) 即为 极径 ，记为 \(\rho\)；以极轴为始边， OA 为终边的角 \(\angle\) \(xOA\) 为 极角 ，记为 \(\theta\) ，有序数对 \((\rho,\theta)\) 即为 A 的 极坐标。

1.2 向量

• 向量： 既有大小又有方向的量称为向量

• 有向线段：带有方向的线段称为有向线段。有向线段有三要素：起点，方向，长度

• 向量的模：有向线段 \(\overrightarrow{AB}\) 的长度称为向量的模，即为这个向量的大小。记为：\(|\overrightarrow{AB}|\) 或 \(|\boldsymbol{a}|\)

• 零向量：模为 \(0\) 的向量。零向量的方向任意。记为：\(\vec 0\) 或 \(\boldsymbol{0}\)

• 单位向量：模为 \(1\) 的向量称为该方向上的单位向量。一般记为 \(\vec e\) 或 \(\boldsymbol{e}\)

• 向量的夹角：已知两个非零向量 \(\boldsymbol a,\boldsymbol b\)，作 \(\overrightarrow{OA}=\boldsymbol a,\overrightarrow{OB}=\boldsymbol b\)，那么 \(\theta=\angle AOB\) 就是向量 \(\boldsymbol a\) 与向量 \(\boldsymbol b\) 的夹角。记作：\(\langle \boldsymbol a,\boldsymbol b\rangle\)

1.3 点积与叉积