标签：frac 定理 证明 儒歇 证法 oint pi

Introduction

最近在学习过程中接触到了儒歇定理，感觉证明过程比较巧妙，遂整理了一下。儒歇定理的基本表述如下：若复函数 \(f\)，\(g\) 在闭曲线 \(C\)内部以及边界上全纯，同时在 \(C\) 上满足 \(|g(z)|<|f(z)|\) ，则 \(N(f+g,C)=N(f,C)\) .其中 \(N(f,C)\) 代表 \(f\) 在闭曲线 \(C\) 内零点个数.

证法一

证法一个人感觉技巧性较强，具体证法如下：

令 \(F(z)=\frac{f(z)+g(z)}{f(z)}\) ，则 \(F(z)\) 在 \(C\) 上满足 \(|F(z)-1|<1\)，显然 \(F(C)\) 关于原点的卷绕数等于0，因此（辐角原理）

\[0=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{F'(z)}{F(z)}dz=N(F,C)-P(F,C) \]

又因为

\[\begin{align} N(F,C)&=N(f+g,C)\\ P(F,C)&=N(f,C) \end{align} \]

所以 \(N(f+g,C)=N(f,C)\) .

证法二

令 \(F_t(z,t)=f(z)+tg(z),t\in[0,1]\) ，则

\[N(F_t,C)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{F_t'(z,t)}{F_t(z,t)}dz \]

当 \(t=0\) 时，显然满足 \(N(F_t,C)=N(f,C)\)，又因为 \(\frac{F_t'(z,t)}{F_t(z,t)}\) 在 \(C\) 上关于 \(z,t\) 连续，因此 \(N(F_t,C)\) 关于 \(t\) 连续，又因为 \(N(F_t,C)\) 为整数，所以\(N(F_t,C)\) 为一常数，因此 \(N(f+g,C)=N(F_1,C)=N(F_0,C)=N(f,C)\).

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