如何证明数学中是根号2无理数，并且通过编程求解根号2的值

1.  无理数和有理数的定义

           实数可以简单的分为有理数和无理数，有理数都可以采用分数   （其中 a 和 b 都是互质的整数）表示；而无理数不可以使用分数表示，并且无理数是无限不循环小数。

2.  根号2是无理数的证明过程

目前常见的证明是无理数的证明方法是反证法，证明的过程如下

证明： 假设是有理数，那么根据有理数的定义，可以表示互质整数的分数形式，即  =   

                                                由于 =                                                         （1）

将等式（1）两边同时平方可得

                                                                                                                   (2) 

等式（2）可以化简为

                                                                                                                (3)

由等式（3）可知， 必为 2 的倍数，那么  必为偶数， 又满足以下等式（4）的关系

                                                                                                              (4)

      已知  为偶数，那么a必然也为偶数。因为如果为奇数的话，两个奇数相乘的结果 也必为奇数，因此为偶数。

同时根据等式（2）可以转化为以下等式（5）的形式

                                                                                                (5)

       由前文中的等式（3）和等式（4）我们可得  为偶数， 那么  必然为2的倍数，所以必然是4的倍数。那么根据等式（5）我们可以得到   也为2的倍数（偶数），那么 b 也为偶数。

       我们得到a和b都是偶数，那么a和b之间就不满足互质的关系，那么由此我们可以得到和假设冲突的矛盾，即不是有理数。

3.   C#代码求解根号二的值

3.1   环境搭建

（1） windows 10 系统

（2）vistual stidio 19 软件

（3）控制台程序

3.2   牛顿迭代法求解

        牛顿迭代法是常见的求解方程的数值计算方法，我们先作出以下函数

然后根据牛顿迭代法求解

引入迭代初始值 x0=0.5;

3.3   全部源代码

全部源代码如下

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
using System.Threading.Tasks;
using System.Threading;

namespace 根号2的迭代法求解
{
    class Program
    {
        /// <summary>
        /// 求解函数f（x）=x^2 - 2 的值
        /// </summary>
        /// <param name="x"></param>
        /// <returns></returns>
        static double  fx_x2_2(double x)
        {
            double a = Math.Pow(x, 2) - 2;
            return Math.Pow(x,2)-2;
        }

        /// <summary>
        /// 求解fx的倒数
        /// </summary>
        /// <param name="x"></param>
        /// <returns></returns>
        static double diff_fx(double x)
        {
            return 2*x;
        }

        static void Main(string[] args)
        {
            // 定义变量
            double xk = 0.5;   // 迭代第k次的值，第一次迭代值为0.5
            double xk_1 = 0; // 迭代第k+1次的值
            double error = 0; // 设置计算误差
            // 设置迭代次数
            int iter = 1000;

            for(int i=0;i<iter;i++)
            {
                // 求解第xk+1次
                xk_1 = xk - (fx_x2_2(xk) / diff_fx(xk));
                error = xk_1 - xk;
                Console.WriteLine("迭代第{0}次，通过迭代法求解迭代值为xk_1为{1},误差值小于{2}", i+1, xk_1, error);
                Thread.Sleep(10);
                xk =  xk_1 ;
            }
            Console.ReadKey();
        }
    }
}

3.4   代码演示结果

计算结果，笔者通过牛顿迭代法设置1000次迭代次数，迭代初始值记为0.5。迭代结果为1.4142135623731。这CSDN自带的公式编辑器太难用了，我后面直接用word公式的图片插入吧。