虽然这部分在笔记本上只有短短三页，但总是记不清公式，所以写下来，随时参考
规定 \(\int{p(x)\mathrm{d}x}\) 不含 \(C\)
一阶微分方程
一、变量分离方程
\[\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}=\frac{X(x)}{Y(y)} \]解：移项积分 \(\int{Y(y)}\mathrm{d}y=\int{X(x)}\mathrm{d}x+C\)
二、齐次方程
\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(\frac{y}{x}) \]解: 令 \(u=\frac{y}{x}\) ，则 \(u+\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}x=f(u)\) \(\Rightarrow\) \(\frac{\mathrm{d}u}{f(u)-u}=\frac{\mathrm{d}x}{x}\)
\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(\frac{ax+by+c}{a_1 x+ b_1y+c_1}) \]解：线性变换，令\(
\begin{cases}
x=X+h\\
y=Y+k
\end{cases}\) ，
右边分式化为 \(\frac{a(X+h)+b(Y+k)+c}{a_1(X+h)+b_1(Y+k)+c_1}\) ，令\(
\begin{cases}
ah+bk+c=0\\
a_1h+b_1k+c_1=0
\end{cases}\)
若 \(\left|\begin{array}{cccc} a & b \\ a_1 & b_1 \\ \end{array}\right| \neq 0\) ，\(h,k\) 有解，原方程化为 \(\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}=f(\frac{aX+bY}{a_1 X+ b_1 Y})\) ，再令 \(u=\frac{Y}{X}\) ，变为可变量分离方程
若 \(\left|\begin{array}{cccc} a & b \\ a_1 & b_1 \\ \end{array}\right| = 0\) ，则 \((a_1,b_1)=\lambda (a,b)\) ，令 \(u=a x+by\) ，原方程化为 \(\frac{1}{b}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}-\frac{a}{b}=f(\frac{u+c}{\lambda u +c_1})\) ，可变量分离
三、线性方程
\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+p(x)y=q(x) \](1) \(q(x)=0\) ，通解为
\[y=Ce^{-\int{p(x)\mathrm{d}x}} \](2) \(q(x)\neq 0\) ，常数变易法，令 \(C=c(x)\) ，代回原方程，得到 \(c'(x)=q(x)e^{\int{p(x)\mathrm{d}x}}\) ，故通解为
\[y=e^{-\int{p(x)\mathrm{d}x}}(\int{q(x)e^{\int{p(x)\mathrm{d}x}}\mathrm{d}x+C}) \]四、伯努利方程
\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+p(x)y=q(x)y^n \]当 \(n=0\) 或 \(1\) 时，就是线性方程
当 \(n\neq 0\) 和 \(1\) 时，同乘 \(y^{-n}\) ，得 \(\frac{\mathrm{d}y^{1-n}}{\mathrm{d}x}+p(x)y^{1-n}=q(x)\) ，令 \(u=y^{1-n}\) ，化为线性方程
五、全微分方程
二阶线性微分方程
标准形式：
\[y''+p(x)y'+q(x)y=f(x) \]一般来说，方程的解不是唯一的，通常会包含两个独立的任意常数
二阶线性微分方程解的结构
定理 \(1.\)
若 \(y_1(x), y_2(x)\) 是齐次方程 \(y''+p(x)y'+q(x)y=0\) 的解，\(c_1,c_2\) 是任意常数，则 \(y_1(x)\) 与 \(y_2(x)\) 的线性组合 \(y(x)=c_1 y_1(x)+c_2 y_2(x)\) 也是齐次方程的解。
定理 \(2.\)
若 \(y_1(x), y_2(x)\) 是非齐次方程的两个解，则 \(y_1(x)-y_2(x)\) 是齐次方程的解。
若 \(y_0(x)\) 是非齐次方程的解，\(y(x)\) 是齐次方程的解，则 \(y_0(x)+y(x)\) 仍然是非齐次方程的解。
求出非齐次方程的一个解（称为特解）和齐次方程的通解，就可以得到非齐次方程的通解。
二阶常系数齐次线性微分方程
讨论
\[y''+py'+qy=0 \]的通解：
令 \(y=e^{\lambda x}\) ，代入得 \((\lambda ^2+p\lambda +q)e^{\lambda x}=0\) ，有
\[\lambda ^2+p\lambda +q=0 \]称这个代数方程为微分方程的特征方程，特征方程的根称为微分方程的特征根
-
若特征方程有 \(2\) 个互异的实特征根 \(\lambda_1, \lambda_2\)
\(e^{\lambda_1x},e^{\lambda_2x}\)都是方程的解且线性无关。因此，方程的通解为
\[y(x)=c_1 e^{\lambda_1x}+c_2 e^{\lambda_2x} \] -
若特征方程有 \(1\) 个实特征重根 \(\lambda = -\frac{p}{2}\)
显然 \(y_1=e^{\lambda x}\) 为方程的一个解，计算得另一个解为 \(y_2=xe^{\lambda x}\) ，所以通解为
\[y(x)=c_1 e^{\lambda x}+c_2 xe^{\lambda x} \] -
若特征方程有 \(2\) 个共轭的复数特征根
设 \(\lambda_1 =\alpha+\beta i,\lambda_2 =\alpha-\beta i\) ，通解为
\[y(x)=e^{\alpha x} (c_1 \cos{\beta x}+c_2 \sin{\beta x}) \]
二阶常系数非齐次线性微分方程
讨论
\[y''+py'+qy=f(x) \]的特解，当 \(f(x)\) 比较特殊时，可以用常数变易法+待定系数法。
情况一 \(f(x)=P_m(x)e^{\mu x}\)
令 \(y=Q(x)e^{\mu x}\) ，代入得 \(Q''(x)+(2\mu+p)Q'(x)+(\mu ^2+p\mu+q)Q(x)=P_m(x)\)
- 若 \(\mu ^2+p\mu+q \neq 0\) ，\(Q(x)\) 为 \(m\) 次多项式；
- 若 \(\mu ^2+p\mu+q = 0\) 但 \(2\mu+p\neq 0\) ，\(Q(x)\) 为 \(m+1\) 次多项式；
- 若 \(\mu ^2+p\mu+q = 0\) 且 \(2\mu+p= 0\) ，\(Q(x)\) 为 \(m+2\) 次多项式。
情况二 \(f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)\cos{\omega x}+P_n(x)\sin{\omega x}]\)
取 \(m=max\{l,n\}\) :
- 若 \(\lambda + i\omega\) 不是特征方程的根，特解\[y(x)=e^{\lambda x}[R^{(1)}_m(x)\cos{\omega x} +R^{(2)}_m(x)\sin{\omega x}] \]
- 若 \(\lambda + i\omega\) 是特征方程的根，特解\[y(x)=xe^{\lambda x}[R^{(1)}_m(x)\cos{\omega x} +R^{(2)}_m(x)\sin{\omega x}] \]