双曲型偏微分方程的几个概念

标签：线性系统概念双曲微分方程 2.2 黎曼

本章研究了一类双曲型偏微分方程的一些基本性质。
本书中研究的离散化技术主要基于偏微分方程的基本物理和数学特性。因此，有理由在偏微分方程的一些基础上投入一些精力。这里我们几乎只讨论双曲偏微分方程，特别是双曲守恒律。这主要有三个原因：
（i）当忽略粘性和热传导的影响时，可压缩流体流动方程简化为双曲方程组，即欧拉方程。
（ii）从数学上讲，通常认为流体流动的偏微分方程的双曲项是对离散化技术提出最严格要求的项。
（iii）双曲系统理论比更完整的数学模型（如Navier-Stokes方程）要先进得多。
此外，近年来，以双曲型问题为主题的研究和发展活动明显增加，因为这些活动涉及广泛的科学和技术领域。
我们仅限于双曲偏微分方程的一些基础知识，并选择了一种非正式的表达方式。所选择的主题和方法几乎完全受本书主题的启发，即黎曼问题和高分辨率迎风和中心数值方法。

拟线性方程组：基本概念

如果矩阵A的元素aij都是常数，并且向量B的分量bj也是常数，则系统（2.2）是具有常数系数的线性系统。
如果aij＝aij（x，t）并且bi＝bi（x，t），则系统是具有可变系数的线性系统。
如果B线性地依赖于U，则系统仍然是线性的，如果系数矩阵A是向量U的函数，即A=A（U），则系统被称为拟线性的。注意，拟线性系统是非线性方程组的一般系统。如果B=0，则系统（2.2）称为齐次系统。
对于形式（2.2）的一组偏微分方程，需要指定自变量x和t的变化范围。通常，x位于实数的子区间，即xl<x<xr；这个子区间被称为偏微分方程的空间域，或者仅仅是域。在值xl、xr时，还需要指定边界条件（BCs）。在本章中，我们假设域是全实域，-∞＜x＜∞，因此不需要指定边界条件。关于时间t的变化，我们假定t0<t<∞。初始条件（IC）需要在初始时间指定，通常选择t0=0。

守恒律与雅可比矩阵

守恒律可以写成拟线性形式

系数矩阵的特征值和特征向量

特征值物理上代表波传播的速度

双曲系统，严格双曲系统与椭圆系统

如果A具有m个实本征值λ1，…，λm和相应的一组m个线性独立的右特征向量K（1），K（m），则称系统（2.2）在点（x，t）处是双曲的。如果特征值λi都是不同的，则称该系统是严格双曲型的。注意严格的双曲性意味着双曲性，因为实的和不同的特征值保证了一组线性独立的特征向量的存在。
如果a的特征值λi都不是实的，则称系统（2.2）在点（x，t）处是椭圆的。

线性对流方程

特征线和通解

我们记得在标量方程的背景下对特征或特征曲线的定义，如（2.32）中的定义。特征线可以定义为t–x平面中的曲线x=x（t），PDE沿着该曲线成为ODE。
考虑x=x（t），并将u视为t的函数，即u=u（x（t，t）。
u沿x=x（t）的变化率为

因此，如果u在时间t=0时被赋予初始值u（x，0）=u0（x），那么沿着穿过x轴上初始点x0的整个特征曲线x（t）=x0+，解为u（x、t）=uO（x0）=uo（x−at）。(2.39)
对（2.32）中PDE的解（2.39）的解释是：给定初始轮廓u0（x），如果a>0，PDE将简单地将该轮廓以速度a向右平移，如果a<0，则向左平移。初始轮廓的形状保持不变。所研究的（2.32）中的模型方程包含了波传播现象的一些基本特征，其中波被理解为以有限速度传播的扰动的一些可识别特征。

黎曼问题

现在我们研究一个特殊的IVP（initial value ploblem)，称为黎曼问题

黎曼问题的解可以在x–t平面上表示，如图2.3所示。通过x轴上的任何点x0，都可以绘制出一个特征线。由于a是常数，这些都是相互平行的。对于黎曼问题的解，通过x=0的特征线是典型的。这是唯一一个两侧解发生变化的特征线。