§3. 收敛定理的证明

不做要求。有能力的同学掌握贝塞尔不等式、黎曼-勒贝格定理和收敛定理的证明。

贝塞尔（Bessel，Friedrich Wilhelm，1784～1846）德国天文学家，数学家，天体测量学的奠基人之一。1784 年7 月22日生于明登 ，1846 年3月17日卒于柯尼斯堡。15岁辍学到不来梅一家出口公司当学徒，在学习航海术的同时学习天文、地理和数学。20岁时发表了有关彗星轨道测量的论文。1806年成为天文学家施特勒尔的助手。1810年，奉普鲁士国王之命，任新建的柯尼斯堡天文台台长，直至逝世。1812年当选为柏林科学院院士。

贝塞尔在天文学上有较多贡献，在天体测量方面，他重新订正《巴拉德雷星表》，加上岁差和章动以及光行差的改正，并把位置归算到1760年的春分点。经过修订的星表于1818年发表，其中还列有他求得的较精确的岁差常数、章动常数和光行差常数等数值。在此期间，他还编制出一份相当精确的大气折射表，建立了计算大气折射的对数公式，以修正其对天文观测的影响，在十九世纪得到广泛引用。

在1821-1833年间，贝赛尔测定了赤纬-5度到+45度之间的亮于九等75000多颗恒星的基本星表，后来由他的助手和继承人阿格兰德扩充成著名的《波恩巡天星表》。

以《天文学基础》（1818）为标志发展了实验天文学 ，贝塞尔编制基本星表 ，测定恒星视差， 预言伴星的存在，导出用于天文计算的贝塞尔公式。

1837年，贝塞尔测量天鹅座视差，发现天鹅座61正在非常缓慢地改变位置，第二年，他宣布这颗星的视差是0.31弧秒，这是世界上最早测定的恒星周年视差之一。（注：恒星周年视差是指人们观察远近不同的星星时产生的视觉上的相对位置差异）

1844年，贝塞尔根据天狼星和南河三自行的波浪式起伏，预言它们都有暗的伴星存在，后来分别在1862年和1896年为观测所证实。

他在数学研究中提出了贝塞尔函数，讨论了该函数的一系列性质及其求值方法，为解决物理学和天文学的有关问题提供了重要工具。此外，他在大地测量学方面也做出一定贡献，提出贝塞尔地球椭球体等观点。

亨利·勒贝格（Henri Léon Lebesgue)  1875年6月28日生于法国的博韦；1941年7月26日卒于巴黎。数学家。

勒贝格的父亲是一名印刷厂职工，酷爱读书，很有教养。在父亲的影响下，勒贝格从小勤奋好学，成绩优秀，特别擅长计算．不幸，父亲去世过早，家境衰落。在学校老师的帮助下进入中学，后又转学巴黎。1894年考入高等师范学校，是数学家波莱尔的学生。

1897年大学毕业后，勒贝格在该校图书馆工作了两年．在这期间，出版了E．波莱尔(Borel)关于点集测度的新方法的《函数论讲义》 (Lecons sur la théorie des functions 1898)，特别是研究生R．贝尔(Baire)发表了关于不连续实变函数理论的第一篇论文．这些成功的研究工作说明在这些崭新的领域中进行开拓将会获得何等重要的成就，从而激发了勒贝格的热情．从1899年到1902年勒贝格在南锡的一所中学任教，虽然工作繁忙，但仍孜孜不倦地研究实变函数理论，并于1902年发表了博士论文“积分、长度、面积”(Intégrale，longueur，aire)．在这篇文章中，勒贝格创立了后来以他的名字命名的积分理论．此后，他开始在大学任教(1902—1906在雷恩；1906—1910在普瓦蒂埃)，在此期间，他进一步出版了一些重要著作：《积分法和原函数分析的讲义》(Leconssur l‘intégration et la recherche des fonctions primitives，1904)；《三角级数讲义》(Lecons sur les séries trigonométriques，1906)．接着，勒贝格又于1910—1919年在巴黎(韶邦)大学担任讲师，1920年转聘为教授，这时他又陆续发表了许多关于函数的微分、积分理论的研究成果．勒贝格于1921年获得法兰西学院教授称号，翌年作为C．若尔当(Jordan)的后继人被选为巴黎科学院院士。

勒贝格对数学的主要贡献属于积分论领域，这是实变函数理论的中心课题。19世纪以来，微积分开始进入严密化的阶段。1854年B．黎曼(Riemann)引入了以他的名字命名的积分，这一理论的应用范围主要是连续的函数。随着K．魏尔斯特拉斯(Weier-strass)和G．康托尔(Cantor)工作的问世，在数学中出现了许多“奇怪”的函数与现象，致使黎曼积分理论暴露出较大的局限性．几乎与这一理论发展的同时(1870—1880年)，人们就已经开展了对积分理论的改造工作。当时，关于积分论的工作主要集中于无穷集合性质的探讨，而无处稠密的集合具有正的外“容度”性质的发现，使集合的测度概念在积分论的研究中占有重要地位。积分的几何意义是曲线围成的面积，黎曼积分的定义是建立在对区间长度的分割的基础上的。因此，人们自然会考虑到如何把长度、面积等概念扩充到更广泛的集合类上，从而把积分概念置于集合测度理论的框架之中。这一思想的重要性在于使人们认识到：集合的测度与可测性的推广将意味着函数的积分与可积性的推广。勒贝格积分正是建立在勒贝格测度理论的基础上的，它是黎曼积分的扩充。

勒贝格积分理论作为分析学中的一个有效工具的出现，尤其是他在三角级数中应用的高度成功，吸引了许多数学家，例如P．法图(Fatou)，F．里斯(Riesz)和E．菲舍尔(Fischer)等，来探讨有关的问题，使得这一领域开始迅速发展．其中特别是里斯关于Lp空间的工作(注：勒贝格可积的函数全体构成的距离空间是完备的)，使得勒贝格积分在积分方程和函数空间的理论中持久地占有重要的位置。

勒贝格的一生都献给了数学事业，在1922年被推举为院士时，他的著作和论文已达90种之多，内容除积分理论外，还涉及集合与函数的构造(后来由俄国数学家H．鲁金(ЛyэиH)及其他学者进一步作出发展)、变分学、曲面面积以及维数理论等重要结果．在勒贝格生前最后20年中，研究工作仍然十分活跃并反映出广泛的兴趣，不过作品内容大都涉及教育、历史及初等几何。

勒贝格的工作是对本世纪科学领域的一个重大贡献，但和科学史上所有新思想运动一样，并不是没有遇到阻力的。原因是在勒贝格的研究中扮演了重要角色的那些不连续函数和不可微函数被人认为违反了所谓的完美性法则，是数学中的变态和不健康部分．从而受到了某些数学家的冷淡，甚至有人曾企图阻止他关于一篇讨论不可微曲面的论文的发表．勒贝格曾感叹地说：“我被称为一个没有导数的函数的那种人了！”然而，不论人们的主观愿望如何，这些具有种种奇异性质的对象都自动地进入了研究者曾企图避开它们的问题之中．勒贝格充满信心地指出：“使得自己在这种研究中变得迟钝了的那些人，是在浪费他们的时间，而不是在从事有用的工作。”

由于在实变函数理论方面的杰出成就，勒贝格相继获得胡勒维格(Houllevigue)奖(1912年)；彭赛列(Poncelet)奖(1914年)和赛恩吐(Saintour)奖(1917年)．许多国家和地区(如伦敦、罗马、丹麦、比利时、罗马尼亚和波兰)的科学院都聘他为院士，许多大学授予他名誉学位，以表彰他的贡献。