广义二项式系数

\(\dbinom{a}{n} = \dfrac{a^\underline{n}}{n!}\)

证明：\(\dbinom{a}{n} = C_a^n = \dfrac{a!}{n!(a-n)!} , \dfrac{a^\underline{n}}{n!} = \dfrac{\frac{a!}{(a-n)!}}{n!} = \dfrac{a!}{n!(a-n)!}\)

对称公式

\(\dbinom{n}{m} = \dbinom{n}{n-m}\)

证明：\(\dbinom{n}{m}=\dfrac{n!}{m!(n-m)!},\dbinom{n}{n-m}=\dfrac{n!}{(n-m)!m!}\)

加法公式

\(\dbinom{n}{m} = \dbinom{n-1}{m} + \dbinom{n-1}{m-1}\)

证明：\(\dbinom{n}{m}=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}\),

\(\dbinom{n-1}{m} + \dbinom{n-1}{m-1}\)

\(= \dfrac{(n-1)!}{m!(n-m-1)!} + \dfrac{(n-1)!}{(m-1)!(n-m)!}\)

\(= \dfrac{(n-1)!(n-m)}{(m-1)!(n-m-1)!m(n-m)} + \dfrac{(n-1)!m}{(m-1)!(n-m-1)!(n-m)m}\)

\(= \dfrac{(n-1)!(n-m+m)}{(m-1)!(n-m-1)!(n-m)m}\)

\(= \dfrac{n!}{m!(n-m)!}\)

感性理解：\(n\) 个数中取 \(m\) 个数的方案数，等于没选第 \(m\) 个数的和选了第 \(m\) 个数的方案数总和。

吸收公式

\(m\dbinom{n}{m} = n\dbinom{n-1}{m-1}\)

证明：

\(m\dbinom{n}{m}=m\times\dfrac{n!}{(m-1)!(n-m)!}=\dfrac{n!}{(m-1)!(n-m)!}\)

\(n\dbinom{n-1}{m-1}=n\times\dfrac{(n-1)!}{(m-1)![(n-1)-(m-1)]!}=\dfrac{n!}{(m-1)!(n-m)!}\)

三项式恒等式

\(\dbinom{a}{b}\dbinom{b}{c}=\dbinom{a}{c}\dbinom{a-c}{b-c}\)

证明：

\(\dbinom{a}{b}\dbinom{b}{c}=\dfrac{a!}{b!(a-b)!}\times\dfrac{b!}{c!(b-c)!}=\dfrac{a!}{c!(a-b)!(b-c)!}\)

\(\dbinom{a}{c}\dbinom{a-c}{b-c}=\dfrac{a!}{c!(a-c)!}\times\dfrac{(a-c)!}{(b-c)![(a-c)-(b-c)]!}=\dfrac{a!}{c!(a-b)!(b-c)!}\)