[T241104](Carathéodory)\((\Omega,\mathscrM,\mu^*)\)是完备测度空间,其中\(\mu^*\)是\(\Omega\)上的外测度,\(\mathscrM\)为\(\Omega\)的\(\mu^*-\)可测子集全体.Proof:先证明\((\Omega,\mathscrM,\mu^*)\)是测度空间,再证明它是完备的(若所有测度为零的

最开始听拓扑课的时候，一直无法理解，明明看拓扑空间定义，\(\tau\)才是拓扑空间的根本，它包含基本集\(X\)构成了拓扑空间啊，为什么所有题目开头第一句“在拓扑空间X上”好，我告诉自己接受就好。后来测度空间，我的学习大头...\((X,\mathcal{M},\mu)\)，多么直观和美妙的书写，一个基本集，一个

几乎处处收敛和依测度收敛几乎处处成立\[\begin{aligned}\text{a.e.}&\iff\text{almosteverywhere}\iff\text{几乎处处}\\\text{a.s.}&\iff\text{almostsurely}\iff\text{几乎必然}\\f\text{a.e.有限}&\iff\{f=\pm\infty\}\text{是零测集}\\

第2章Hausdorff测度本章我们介绍\(\mathbb{R}^n\)空间中一个重要的Borel测度：Hausdorff测度2.1Hausdorff测度2.1.1定义和基本性质定义2.1.1.令\(A\subset\mathbb{R}^n,0\leqs<\infty,0<\delta\leq\infty\)记：\[\mathcal{H}_{\delta}^{s}(A)=\inf\left\{\sum_{j=1}^{\in

第1章Borel测度在正式讨论我们的内容之前我们先做几点说明1.我们只讨论\(\mathbb{R}^n\)上的测度，因此如果不作特别说明，我们均认为测度和集合为于\(\mathbb{R}^n\)中：2.我们不特别区分外测度和测度，因为将外测度限制在可测集上就是可测集上的测度：3.我们默认读者已经了解了\(\m

我突然意识到也许知道上极限和下极限再来血这个会容易一点。QwQ符号约定\(\mathbb{N,Z,Q,R}\)在之前已经构造了，应该不存在问题。\(\logn\)表示\(n\)取自然对数（也就是国内用的\(\ln\)）。历史遗留问题在[[分析基础I]]中提到不同定义下的\(\mathbb{R}\)是\(\text{i

文章目录测度概述集类笛卡尔积定义例子多集合的笛卡尔积定义计算方法注意事项有限笛卡尔积的性质1.定义2.性质2.1基数性质2.2空集性质2.3不满足交换律2.4不满足结合律2.5对并和交运算满足分配律3.示例4.结论参考链接测度概述所谓测度，通俗的讲就是测量

文章目录说明点集与测度可数集定义性质示例与有限集的关系应用可列集定义种类不可列集性质应用与意义有限集性质示例与无限集的区别应用可数集（Countableset）和可列集（Countablyinfiniteset或Enumerableset）可数集可列集等同性注意事项开集的极限点集定义与解释开

数据来源参考马丽老师（2016）的做法，股价数据来源于东方财富网，采用上证180指数及构成上证180指数样本股日收盘价数据作为样本。上证180指数自2002年7月1日起正式发布，其样本股是在所有 A 股股票中抽取最具市场代表性的180种样本股票，市值占总市值的比重很大，能够反映上海证券市场的

不做要求。有能力的同学掌握贝塞尔不等式、黎曼-勒贝格定理和收敛定理的证明。  贝塞尔（Bessel，FriedrichWilhelm，1784～1846）德国天文学家，数学家，天体测量学的奠基人之一。1784年7月22日生于明登，1846年3月17日卒于柯尼斯堡。15岁辍学到不来梅一家出口公司当学徒，在学习航海术

  在数学中，测度(measure)是对长度、面积、体积等概念的一般化。对于一个可测的(measurable)集合，一个集合可以给出这个集合的“大小”。本文将从简介绍测度的基本定义与一些常见测度。Part1 基本定义  测度通常定义在一个集合的\(\sigma\)-代数(sigma-algebra)上的

本篇我们将对测度做更一般的讨论，以将其推广到更大的范围。1.变数变换和L-S测度1.1变数变换我们知道，测度是一个集函数，也就是子集到实数的映射。如果定义两个基本空间的映射\(\varphi:\,X_1\toX_2\)，就有可能建立两个测度空间的关联。具体来说，假定\(\varphi\)建立在两

上篇在\(\sigma\)-环上延拓了测度的概念，并讨论了实数轴上典型的可测集\(\mathbf{L},\mathbf{L^g},\mathbf{B}\)。这些理论精巧而有其独立性，但还需放到合适的领域里才能展现其本质和威力。\(\sigma\)-环是个普遍的代数结构，它的可列交并运算特别适用于需要级数运算的场合，这也将

1.有限有界积分1.1积分及存在性有了前两篇的铺垫，现在可以顺理成章地定义积分的概念了。和Riemann积分一样，定义要分成两步，先是在有限定义域的有界函数上，然后使用极限法推广到一般函数上。具体来说，设\(E\)是某测度空间的有限可测集（\(\mu(E)<\infty\)），\(f(x)\)是\(E\)上的有界

1.积分的极限积分与极限运算的交换，是数学分析中的重要工具。但在Riemann积分中，运算交换需要较强的条件，特别是麻烦的“一致收敛性”。然而“一致收敛性”并不是运算交换的必要条件，但是从Riemann积分的定义出发，却很难再有进一步的弱化条件。本篇你将看到，在基于测度的积分上，极

【本系列目录】   01- 更合理的积分   02- 测度论基础   03-可测函数   04-基于测度的积分   05-积分极限和乘积测度   06- 导数与单调函数   07- 微积分基本定理  08-广义测度和积分  博客总目录 1.源起

1.测度和\(\sigma\)-环在上一篇我感受到，对复杂集合的描述都是很困难的事，更不好定义一个清晰普遍的测度。正确的思路应该是，从可以定义测度的简单集开始，合理地向外扩展，直至包含足够丰富的集。这样即满足了复杂性要求，也同时兼容了简单集的测度。所谓简单集，就比如实数集上的区间

本章共17道习题。1.考察函数可测的充要条件，代表题目为1、2、3、6题。2.第4题说明当mE＜∞时，几乎处处有限的可测函数基本上有界。第5题说明当mE＜∞时，几乎处处收敛于有限函数的几乎处处有限的可测函数列基本上一致有界。第4题可以看成第5题的特例。3.卢津定理及其逆定理揭示了可测

学习要求：掌握依测度收敛的定义,以及依测度收敛和几乎处处收敛的关系.虽然依测度收敛不一定处处收敛,a.e.收敛也不一定依测度收敛（见例1，例2）,但是也有很密切的关系.里斯定理：依测度收敛一定有子列a.e.收敛.勒贝格定理：如果E的测度有限，那么a.e.收敛可以推出依测度收敛.

掌握外测度的定义和外测度的性质. 性质:(1)  (2) 单调性   (3) 次可数可加性  注意：可数集的外测度为零,区间的外测度为区间的体积.

中国各地级市数字经济指数数据（2000-2021）中国各地级市数字经济指数数据（2000-2021）中国各地级市数字经济指数数据（2000-2021） 最新版数据已整理为Excel格式，数据的时间区间

谁爱写谁写反正我不写了！回顾与展望2.1外测度与测度外测度：空集为零；单调性；次可加性CY条件：\(T\in\R^n,\mu^*(T)=\mu^*(T\capE)+\mu^*(T\capE^c)\)CY定理：\(\sigma