在数学中， 测度(measure) 是对长度、面积、体积等概念的一般化。对于一个 可测的(measurable) 集合，一个集合可以给出这个集合的“大小”。本文将从简介绍测度的基本定义与一些常见测度。
Part1 基本定义
测度通常定义在一个集合的 \(\sigma\) -代数 (sigma-algebra) 上的。对于一个集合 \(X\) ，其上的一个 \(\sigma\) -代数为满足一下条件的集族 \(\Sigma\) ：
- \(X \in \Sigma\) 。
- 如果集合 \(E\in \Sigma\) ，那么 \(E^c\in \Sigma\) 。
- 如果 \(E_1,E_2,\cdots,E_i\in \Sigma\) ，那么 \(\bigcup^{\infty}_{i=1}S_i\in \Sigma\) 。
以上条件可简要概括为满足取补集、取可数并集合与取可数交集下是闭合的。可以用De Morgan定律由条件二三证得 \(\sigma\) -代数取可数交集封闭。
在这里， \((X, \Sigma)\) 构成一个 可测空间(measurable space) ， \(\sigma\) 中的元素叫作 可测集(measurable set) 。若一个 集合函数(set function) \(\mu:\Sigma\rightarrow\mathbb{R}\cup\{\infty\}\) 满足
- 非负性： \(\mu(E)\geq 0\forall E\in \Sigma\) 。
- 零空集性： \(\mu(\varnothing) = 0\)
- 可数可加性 (countable additivity) ：对于两两不交的任意可数集合 \(\{E_k\}_{k=1}^{\infty}\) ，有
则 \(\mu\) 叫作一个测度，这里 \((X,\Sigma,\mu)\) 构成一个 测度空间(measure space) 。
由定义可以得到一些测度的共有特征，如 单调性(monotonicity) ：对 \(E_1\subseteq E_2\) ，有 \(\mu(E_1)\leq\mu(E_2)\) 。
在下面，我们将会介绍一些常见测度的定义。
Part2 常见测度
2.1 计数测度
计数测度(counting measure) 是最简单易懂的测度，它给出一个集合的测度就是这个集合的大小。计数测度可以定义在任意的可测空间上，但是通常被应用于可数集。对一个集合 \(X\) 选取它的 幂集(power set) ，即由 \(X\) 所有子集组成的集族，为 \(\sigma\)-代数 \(\Sigma\) ，那么在可测空间 \((X, \Sigma)\) 上的计数测度为：
\[\mu(A)= \left\{ \begin{array}{ll} |A| &A\text{ is finite}\\ \infty &A\text{ is infinite}\\ \end{array} \right. \]这里 \(|A|\) 表示集合 \(A\) 的 基数(cardinality) ，即 \(A\) 中元素的个数。
2.2 狄拉克测度
狄拉克测度(Dirac measure) ，也称作狄拉克函数，定义上的理解并不困难，它仅基于一个集合是否含有一个特定函数来给出测度。给定一个集合和一个元素 \(x\in X\) ，可以定义一个狄拉克测度 \(\delta_x\) 。对于任何可测集合 \(A\subseteq X\) ，它的狄拉克测度为
\[\delta_x(A) = I_A(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 &x\not\in A\\ 1 &x\in A \end{array} \right. \]这里 \(I_A\) 是 A 的 指示函数(indicator funtion) 。注意到狄拉克测度是一个概率测度，即一个 值域(range) 为 \([0,1]\) 的测度。
狄拉克测度结合积分可以处理许多困难的问题，在傅里叶变换与积分上有十分重要的作用。严格来说，它并不能算作一个函数，而是一种 数学对象(mathematical object) ，因为满足其定义条件的函数是不存在的，但是可以用分布的概念解释，因此称为 狄拉克分布(Dirac distribution) 或 \(\delta\) 分布(delta distribution) 。更具体地，它是一种 广义函数(generalized function) 。广义函数是一种数学对象，依据积分性质而定义。它可以是很多函数的极限点，这些函数把除 \(0\) 以外的所有点概率密度越变越小。
2.3 勒贝格测度
勒贝格测度(Lebesgue measure) 是测量 欧几里得空间(Euclidean space) \(\mathbb{R}^n\) 的子集的测度。对于 \(n = 1, 2, 3\) 的情形，勒贝格测度与标准的长度、面积与体积等价。对于一个 \(n\) 维立方体 \(C = \prod_{i=1}^nI_i\) ，其满足 \(I_1, I_2, \cdots, I_n\) 为开区间，便定义它的体积为 \(vol(C) = \prod_{i=1}^n(b_i-a_i)\) 。对于任意 \(E\subseteq\mathbb{R}^n\) ，定义它的勒贝格测度为
\[\lambda^*(E) = \inf\left\{\sum\limits^{\infty}_{k=1}vol(C_k):E\subseteq\bigcup\limits^{\infty}_{k=1}\right\} \]这是一个 外测度(extorior measure) ，满足 次可数可加性(countable sub-additivity) ，即对于集合的任意可数集合 \(\{E_1, E_2, \cdots\}\) ，有
\[\lambda^*\left(\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}\right)\leq\sum\limits_{k=1}^{\infty}\lambda^*(E_k) \]一个集合 \(E\) 勒贝格外测度与该集合的勒贝格测度相等，当其满足 卡拉西奥多里条件(Caratheodory criterion) ，即对于任意的 \(A\subseteq \mathbb{R}^n\) 都有
\[\lambda^*(A) = \lambda^*(A\cap E)+\lambda^*(A\cap E^c) \]一个不满足卡拉西奥多里条件的集合不是勒贝格可测的。下面将会提到可测集更少的博雷尔测度。十分奇妙的是，对一个可测博雷尔可测的集合，它的勒贝格测度与博雷尔测度是相等的。
2.4 博雷尔测度
一个 拓扑空间(topological space) \((X, \mathcal{T})\) 是一个满足以下性质的集合 \(X\) 和其子集的集族 \(\mathcal{T}\) ：
- \(\varnothing, X\in\mathcal{T}\)
- \(\mathcal{T}\) 任意并封闭，有限交封闭。
\(\mathcal{T}\) 叫作在 \(X\) 上的 拓扑(topology) ，在 \(\mathcal{T}\) 中的元素叫作 开集(open set) 。若 \(X\) 的子集 \(C\) 满足条件 \(X\backslash C\in\mathcal{T}\) ，则 \(C\) 被叫作 闭集(close set) 。
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