谁爱写谁写反正我不写了！
回顾与展望
2.1 外测度与测度
- 外测度：空集为零；单调性；次可加性
- CY条件：\(T\in \R^n, \mu^*(T)=\mu^*(T\cap E)+\mu^*(T\cap E^c)\)
- CY定理：\(\sigma-\)代数；可数可加性；完备性
- Lebesgue测度，Lebesgue测度空间
2.2 Lebesgue测度的性质
- 定理（\(\mathcal{L}-\)可测集的特征）：内外正则性（开集外，闭集内）；内外逼近（紧集内，开集外）
- 定理（\(\mathcal{L}-\)测度的平移、伸缩性）
2.3 可测函数
- 广义实值可测函数
- 定理（简单函数的逼近）
2.4 可测函数的积分
- 定理（单调收敛）：单调递增非负可测函数列+收敛
- 定理（Fatou引理）：\(f_n\longrightarrow f,\mu .a.e\) 于 \(E\Rightarrow \underline \lim_{n\rightarrow \infty}\int f_nd\mu =\int fd\mu\)
- 定理（控制收敛定理/LDC）：收敛+非负可测函数控制
2.5 \(\R^n\) 上的Lebesgue积分的计算
2.5.1 \(\R\) 上的Lebesgue积分的计算
- 定理（Lebesgue积分下的Newton-Leibnitz）\(I\) 上绝对连续函数 \(\Rightarrow\) \(f\) 几乎处处可微；\(f'\in \mathcal{L}^1(I)\)；Newton-Leibnitz公式
- 弱化：\(f\in c[a,b]+f\) 在 \([a,b]\) 上可微 \(+f'\in \mathcal{L}^1[a,b]\Rightarrow\)Newton-Leibnitz公式
2.5.2 Fubini定理
- Fubini定理：
- 形式1：\(E\in \mathcal{M}_{p+q} \Rightarrow E_x\in \mathcal{M}_q,\ E_y\in \mathcal{M}_p\)；\(\int_{\R^p}m_q(E_x)dx=\int_{\R^q}m_p(E_y)dy=\int_{\R^{p+q}}1_E(x,y)dxdy\)
- 形式2：\(X,Y\) 可测集，\(f\) Lebesgue可积或非负可测 \(\Rightarrow \int \int _{X×Y}f(x,y)dxdy=...\)
- 命题：\(X\in \mathcal{M}_q,\ Y\in \mathcal{M}_p\) ；\(\forall x\in X, y\longrightarrow f(x,y)\) 是 \(Y\) 上连续函数；\(\forall y\in Y, x\longrightarrow f(x,y)\) 在 \(X\) 上可测 \(\Rightarrow f\) 是 \(X×Y\) 上的可测函数。