工科数学分析 Chap 1. 习题 1.4.4
Description
当 \(x\to 0\) 时, 下列函数哪些是 \(x\) 的高阶无穷小? 哪些是 \(x\) 的同阶或等价无穷小? 哪些是 \(x\) 的低阶无穷小? 并指出无穷小的阶数.
(1). \(x^4+\sin 2x,x\in \mathbb{R}\);\(\quad\)(2) \(\sqrt{x(1-x)},x\in(0,1)\);\(\quad\)(3). \(\dfrac{2}{\pi}\cos\dfrac{\pi}{2}(1-x), x\in\mathbb{R}\);
(4). \(2x\cos x\sqrt[3]{\tan^2 x},x\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)\);\(\quad\)(5). \(\csc x-\cot x,x\in(0,\pi)\).
Solution
(1).
\[\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^4+\sin 2x}{x}=\lim_{x\to 0} x^3+\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin 2x}{x}=2 \]故 (1) 式为 \(x\) 的同阶无穷小, 阶数为 \(1\).
(2).
\[\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x(1-x)}}{\sqrt x}=\lim_{x\to 0}\sqrt{(1-x)}=1 \]故 (2) 式为 \(x\) 的低阶无穷小, 阶数为 \(\dfrac{1}{2}\).
(3).
因为
\[\dfrac{2}{\pi}\cos\dfrac{\pi}{2}(1-x)=\dfrac{2}{\pi}\sin\dfrac{\pi}{2}x \]故原式为
\[\lim_{x\to 0}\dfrac{2}{\pi}\sin\dfrac{\pi}{2}x=\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{2}{\pi}x=x \]即 (3). 式为 \(x\) 的等价无穷小, 阶数为 1.
(4).
\[\lim_{x\to 0} 2x\cos x\tan^{\frac{2}{3}}x=\lim_{x\to 0}2x\tan^{\frac{2}{3}}x=\lim_{x\to 0}x^{\frac{5}{3}} \]故 (4). 式为 \(x\) 的高阶无穷小, 阶数为 \(\dfrac{5}{3}\).
(5).
\[\lim_{x\to 0}\csc x-\cot x=\lim_{x\to 0} \dfrac{1-\cos x}{\sin x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\frac{1}{2}x^2}{x}=\frac{1}{2}x \]故 (5). 式为 \(x\) 的同阶无穷小, 阶数为 \(1\).
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