泰勒中值定理(包括麦克劳林公式)

标签：泰勒 拉格朗 +...+ frac 定理 quad 麦克劳

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  • 拉格朗日中值定理: https://www.cnblogs.com/Preparing/p/18161184

  • 泰勒公式： https://www.cnblogs.com/Preparing/p/17066010.html

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首先复习1个多项式：

\[P_{n}(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+...+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n} \\ \\ (0.0) \]

如果函数\(f(x)\)在含有 \(x_{0}\) 的某个开区间\((a,b)\)内具有直到 \(n+1\) 阶的导数，则对于任意点\(x, x \in (a,b)\), 有如下:

\[f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+...+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+R_{n}(x) \\ \\ (0.1) \]

其中：

\[R_{n}(x)=\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}, \quad a<\xi<b \\ \\ (0.2) \]

多项式(0.0)称为函数\(f(x)\)按 \((x-x_{0})\) 的幂展开的\(n\)阶泰勒多项式，式子(0.1)称为函数\(f(x)\)按 \((x-x_{0})\) 的幂展开的\(n\)阶泰勒公式。

注意，若令\(n=0\) (仅有一项)，则泰勒中值定理会变为：

\[f(x)= f(x_{0})+R_{0}(x_{0}) \Rightarrow f(x_{0})+f'(\xi)(x-x_{0}), \quad a<\xi<b \]

即拉格朗日中值定理，由此可以看出泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广。

表达式(0.2)称之为拉格朗日余项。

在不需要拉格朗日余项的精确表达式之时，$ R_{n}(x) $的表达式也可以写成 $ o[(x-x_{0})^{n}] $, 称为佩亚诺(Peano)余项。

当\(x_{0}=0\)时，泰勒公式(0.1)又被称为麦克劳林公式：

\[f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+...+\frac{f^{n}(0)}{n!}x^{n}+\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!} x^{n+1} ,\quad (0<\xi<x) \]

或：

\[f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+...+\frac{f^{n}(0)}{n!}x^{n}+\frac{f^{n+1}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1} ,\quad (0<\theta<1) \]

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From： https://www.cnblogs.com/Preparing/p/18164540