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莫比乌斯反演

莫比乌斯函数

\(\mu(d)\) 是积性函数

\[\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1] \]

反演的两种形态

设F,f为数论函数

\[F(n)=\sum_{d|n}f(d) \]

用狄利克雷卷积的简要证明

\[F=f*I\\ \because I*\mu=\epsilon\\ F*\mu=f*I*\mu\\ F*\mu=f\]

四大要点

公式推导：

等价变换：

线性筛法：

分块处理：

3.例题

3.1

求 $$\sum_{1\leq x\leq N}\sum_{1\leq y\leq M}[\gcd(x,y)\in prime]$$

易得原式

\[\sum_{x\in prime}\sum_{x|d} \mu(\frac{d}{x})F(d)\\ =\sum_{x\in prime}\sum_{i} \mu(i)F(ix)\\ =\sum_{i}\mu(i)\sum_{x\in prime} \lfloor \frac{n}{ix}\rfloor\lfloor \frac{m}{ix}\rfloor\\ =\sum_{j} \lfloor \frac{n}{j}\rfloor\lfloor \frac{m}{j}\rfloor\sum_{x|j,x\in prime}\mu(\frac{j}{x})\\\]

预处理 \(\sum_{x|j,x\in prime}\mu(\frac{j}{x})\) ，为 \(O(n\log n)\)

每次询问整除分块 \(O(T\sqrt{n})\)

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