前置知识积性函数积性函数指对于所有互质的整数$a$和$b$有性质$f(ab)=f(a)f(b)$的数论函数。若对于所有整数$a$和$b$都有性质$f(ab)=f(a)f(b)$成立，则称$f(n)$是完全积性的。例如$\phi(n)$为积性函数。数论函数定义数论函数（或称算术函数）指定

信奥中的数学：积性函数、莫比乌斯反演信奥中的数学：积性函数、莫比乌斯反演-CSDN博客莫比乌斯反演的证明（非狄利克雷卷积法）莫比乌斯反演的证明（非狄利克雷卷积法）_莫比乌斯反演公式证明-CSDN博客莫比乌斯反演定理证明（两种形式）莫比乌斯反演定理证明（两种形式）_莫比乌斯反演

符号规约\([A]\)，艾弗森括号，其中\(A\)为命题，若\(A\)为真，则该式值为\(1\)，否则为\(0\)。常见积性函数单位函数：\(\large{e(n)=[n=1]}\)幂函数：\(\large\operatorname{Id}_k(n)=n^k\)常数函数：\(\large{1(n)=1}\)因数个数：\(\large\operatorname{d}(n)=\sum\limits_{d\midn}1

一、莫比乌斯1、莫比乌斯函数：\(u(n)=\left\{\begin{array}{l}1\qquad\qquadn=1\\0\qquad\qquadn含有平方因子\\(-1)^{k}\qquadn里面所包含质因子数目\end{array}\right.\)令\(\varepsilon(n)=\sum_{d|n}^{n}u(d)=[n=1]\)，那么我们有\(\varepsilon=u\*\1\)

莫比乌斯系列莫比乌斯函数定义\[\mu(n)=\begin{cases}1&n=1\\0&n含有平方因子\\(-1)^k&k为n的本质不同质因子个数\end{cases}\]性质\(\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\)，即\(\mu*1=\epsilon\)。\(\varphi(n)=\sum_{d|n}\mu(d)\times\d

由于一道题目用到了莫反，所以学了一下，赶紧隔了好几天才想起来记下来。STO忘忧老师是神！！！/bx/bx/bx莫比乌斯反演前置芝士：莫比乌斯函数：\(\mu\)为莫比乌斯函数，定义为:\[设：\n=\prod_{i=1}^{k}p_i^{c_i}\\则：\mu(n)=\begin{cases}1&n=1\\0&\existc_i>1\\(-1)^k&\forallc

数列分块常与数列分块连用向下取整括号一定要加对 intEnd=0,N=a/d,M=b/d; if(N<M)swap(N,M); for(intStart=1;Start<=M;Start=End+1) { End=min(N/(N/Start),M/(M/Start));//注意边界 ans+=(sum[End]-sum[Start-1])*(longlong)(N/Start)*(M/Start);//注意括号

莫比乌斯反演前置芝士：数论分块求\(\sum\limits_{i=1}^n\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)，其中\(n\le10^{12}\)。可以发现，\(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)最多只有\(\sqrt{n}\)种取值，所以只需要枚举每种取值对应\(i\)的取值范围即可。llans=0;for(inti=1,j;i<=n;i=

9.莫比乌斯函数与莫比乌斯反演9.1莫比乌斯函数9.1.1定义设\(\mu\)为莫比乌斯函数，则有：\[\mu(x)=\begin{cases}1\qquad(n=1)\\0\qquad(∃\i\(ki=x,k\inZ\rightarrow\sqrt{i}\inZ))\\(-1)^{\sum_{i\inprime}[i\midx]}\end{cases}\]直观地说，只要\(x\)的某个质

前置知识：积性函数。定义：一个函数\(f\)，若\(\forall\gcd(a,b)=1\)，都有\(f(a)\timesf(b)=f(a\timesb)\)，则它是积性函数。一个函数\(f\)，若\(\forall(a,b)\)，都有\(f(a)\timesf(b)=f(a\timesb)\)，则它是完全积性函数。正题狄利克雷卷积先放一张图方便下文理解(copyz

\[\]前段时间学习了莫比乌斯反演，现在补一篇学习笔记吧。Step1：莫比乌斯函数首先我们来定义一下莫比乌斯函数\(\mu\)，它的取值如下：\[\mu(n)=\left\{ \begin{array}{ll} 1\qquad\quadn=1\\ (-1)^k\quadn=p_1p_2\cdotsp_k\\ 0\qquad\quadotherwise \end{array}

莫比乌斯函数定义\[\mu(x)=\left\{\begin{matrix}1&x=1\\(-1)^m&x=p_1\\0other\end{matrix}\right.\]求法方法1.直接暴力分解质因数太水了。方法2.埃氏筛\(O(n\log\logn)\)方法3.线性筛for(inti=2;i<=n;i++){ if(!is_prime[i]){ prime[++cnt]=i;

莫比乌斯函数定义莫比乌斯函数为\(\mu(n)=\begin{cases}1&n=1\\(-1)^r&&n=p_1\timesp_2\timesp_3\cdots\cdotsp_r\\0&\text{其他}\end{cases}\)。定理:\(\sum_{d|n}\mu(d)=\begin{cases}1&n=1\\0&n>

莫比乌斯环：单一而无限的象征莫比乌斯环，这个拓扑学上的奇观，以其独特的一体两面特性，完美地映射了ITIL4服务价值系统的精髓。它象征着无限、统一和连续性，提示我们看待事物时应超越传统二元对立的视角，理解事物间深刻的内在联系和连续性。ITIL4服务价值链：莫比乌斯上的价值流转正如

其实这道题目是莫比乌斯反演的入门题目，whatever，我们可以不从莫比乌斯反演的角度理解由于这道题目\(a,b\)的值可以不同，所以不用数论容斥，换一个角度，考虑把\(k\)除进去然后互质所以主要就是解释一下\(F[a,b]\)是怎么推导的我们从容斥原理的角度考虑。对于任意一个二元组\((x,y)\)，

莫比乌斯反演莫比乌斯函数\(\mu(d)\)是积性函数\[\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\]反演的两种形态设F,f为数论函数\[F(n)=\sum_{d|n}f(d)\]用狄利克雷卷积的简要证明\[F=f*I\\\becauseI*\mu=\epsilon\\F*\mu=f*I*\mu\\F*\mu=f\]四大要点公式推导：等价变换：线性筛法：分块处

莫比乌斯反演学习笔记前言之前学了一遍，只学了朴素的莫比乌斯反演，现在第二次面对不知道能否有所长进。性质莫比乌斯反演是数论中的重要内容。对于一些函数\(f(n)\)，如果难以直接求出它的值，但容易求得其倍数和或约数和\(g(n)\)，那么可以通过莫比乌斯函数反演简化运算，从而求得\(

积性函数：若函数\(f(x)\)满足：\(f(1)=1\)且\(∀x,y∈N_+,\gcd(x,y)=1\)都有\(f(xy)=f(x)f(y)\)，则称它为积性函数。若函数\(f(x)\)满足：\(f(1)=1\)且\(∀x,y∈N_+\)都有\(f(xy)=f(x)f(y)\)，则称它为完全积性函数。性质：若\(f(x),g(x)\)均为积性函数，那么则以下函数也为

莫比乌斯反演目录莫比乌斯反演反演公式&性质例题[HAOI2011]ProblembYY的GCD于神之怒加强版Crash的数字表格/JZPTAB[SDOI2014]数表[SDOI2015]约数个数和反演公式&性质\[f(n)=\sum_{d|n}g(d)\\g(n)=\sum_{d|n}\mu(d)f(\fracnd)\]感觉我不太会用上面那个我只会用莫比乌斯函

数论分块引理\[\lfloor\frac{a}{bc}\rfloor=\lfloor\frac{\lfloor\frac{a}{b}\rfloor}{c}\rfloor\]数论分块对于\(\displaystyleh(i)=\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)，设\(f(l)=x\)。则\(\displaystyle\foralli\in[l,\lfloor\frac{n}{\lfloor\frac{n}{l

莫比乌斯反演补了补暑假欠下的账（你怎么寒假才学）推狮子>>写代码。数论函数：定义域为正整数的函数。积性函数，对于一个数论函数，任意两个互质的正整数\(x,y\)，都有\(f(xy)=f(x)f(y)\)完全积性函数就是不要求\(x,y\)互质的积性函数。常见的积性函数：单位函数\(\epsilon(n)

前置：积性函数与狄利克雷卷积和整除分块两个基础积性函数：\(\varepsilon(n)=[n=1]\)，\(1(n)=1\)。性质：\(\varepsilon*f=f\)，\(f\)是任意函数。结论：\(f(n)\)是积性函数\(\iffg(n)=\displaystyle\sum_{d|n}f(d)\)是积性。证明：$\Rightarrow$方向：\(g=f*1\)，狄利克雷卷积的性

0约定\([n]=[1,n]\cap\mathttZ\)1数论分块形如$S(n)=\sum\limits_{i=1}^nf(i)g(\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor)$。可以在\(O(\sqrtn)\)的时间复杂度内求解。1.1解法对于\(1\lei\le\sqrtn\)，显然，\(i\)最多\(\sqrtn\)种取值，故而\(\left\l

前置知识狄利克雷卷积：\(f*g=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})\)。积性函数，线性筛。数论分块。单位函数：\(\varepsilon(n)=[n=1]\)。（积性函数）常数函数：\(1(n)=1\)。（积性函数）莫比乌斯函数引理1：\(f(n)\)是积性函数等价于\(g(n)=\sum_{d|n}f(d)\)是积性函数。证明：显然，\(g=

参考博客OI-Wiki|Biuld-数学|Million-组合计数学习笔记|狄利克雷卷积和莫比乌斯反演|算法学习笔记(35):狄利克雷卷积狄利克雷卷积莫反的前置知识，主要引入了一个新运算。常用积性函数单位函数\(\varepsilon(n)=\begin{cases}1&n=1\\0&\text{otherwise}\end{cases}