前置知识：积性函数。
定义：
一个函数 \(f\)，若 \(\forall\gcd(a,b)=1\)，都有 \(f(a)\times f(b)=f(a\times b)\)，则它是积性函数。
一个函数 \(f\)，若 \(\forall(a,b)\)，都有 \(f(a)\times f(b)=f(a\times b)\)，则它是完全积性函数。
正题
狄利克雷卷积
先放一张图方便下文理解(copy zyf)：
接下来给出狄利克雷卷积的定义：
对于两个函数 \(f\)，\(g\)，它们的狄利克雷卷积 \(f * g\) 为：
\[(f * g)(n) = \sum_{d|n}f(d)\times g(\frac{n}{d}) \]关于狄利克雷卷积的一些性质：
若 \(f\) 为积性函数，则：
\(h(x)=f(x^p)\) 为积性函数。
\(h(x)=f(x)g(x)\) 为积性函数。
\(h(x)=(f * g)(x)\) 为积性函数。
证明我也不会，背就完了。
接下来通过狄利克雷卷积把上图函数结合起来：（\(f\) 为任意积性函数）
\(id * 1=\sigma\)
\(\varphi * 1=id\)
\(\epsilon * f=f\)
插入：
容易发现 \(\epsilon\) 为单位元卷积函数，因此可以给出两个函数 \(f\)，\(g\) 在狄利克雷卷积中互逆的定义为 \(f * g=\epsilon\)
\(1 * \mu=\epsilon\)
从这里容易发现 \(1\) 和 \(\mu\) 互逆，所以容易得出一个式子 \(f * 1=g\iff f=g * 1\)
这实际上就是莫比乌斯反演的一种形式。喵~
莫比乌斯反演
先给一道例题：
\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}ij\gcd(i,j)\mod p \]其中 \(p\) 为质数。
解：原式
$$=~\sum_{d=1}^{n}d \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} ij [\gcd(i,j)=d]$$
$$=~\sum_{d=1}^{n} d^3 \sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor} \sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor} ij [\gcd(i,j)=1]$$
$$=~\sum_{d=1}^{n} d^3 \sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor} \sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor} ij \sum_{t|\gcd(i,j)}\mu{t}$$