菜就多练，输不起就别玩，不会就是不会。
二项式推论
- \(1.\) \(\tbinom{n}{m}=\tbinom{n}{n-m}\)
- \(2.\) \(\tbinom{n}{m}=\frac{n}{m}\tbinom{n-1}{m-1}\)
- \(3.\) \(\sum\limits_{i=0}^nC_n^i=2^n\)
证明：拆 \((1+1)^n\) - \(4.\) \(\sum\limits_{i=0}^n (-1)^iC_n^i=0\)
特殊的，\(n=0\)，上式等于 \(1\)。
证明：拆 \((1-1)^n\)
这些是基础的，还有后面会说。
二项式反演
形式一
\[g(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^if(i)C_n^i\Leftrightarrow f(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^ig(i)C_n^i \]证明：
考虑一个全集 \(U=\{a_1,a_2,a_3...a_n\}\)。
我们定义 \(f(i)\) 表示满足 \(i\) 个条件的方案数（求什么方案看题目定）。
我们定义 \(g(i)\) 表示不满足 \(i\) 个条件的方案数。
根据 \(f\) 求 \(g\) ：\(g(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^if(i)C_n^i\)
根据容斥原理，上式得证。
根据 \(g\) 求 \(f\) ：\(f(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^ig(i)C_n^i\)
上式得证。
举个例子，我们要算满足条件 \(a_1,a_2,a_3\) 的，应该加上所有方案，减去不满足 \(a_1\) 或 \(a_2\) 或 \(a_3\) 的，加上不满足 \(a_1,a_2\) 或 \(a_1,a_3\) 或 \(a_2,a_3\) 的。再加上三次的。
然后同理可证另一个。
这个式子好像没什么用。