基本反演推论对于\(|F|=n,|G|=m\)，要证明\(F[x]=\sum_\limits{i=0}^{+\infin}A[x,i]G[i]\iffG[x]=\sum_\limits{i=0}^{+\infin}B[x,i]F[i]\)。\(F\)为\(G\)的前缀和，\(F[x]=\sum_\limits{i=0}^{+\infin}[i\leqx]G[i],G[x]=\sum_\limits{i=0}^{\in

反演“反演”的本质:两个函数之间的双向关系。我们通常可以用矩阵来描述这种关系。\[F=G*A\\F*A^T=G\]\(A\)即为关系矩阵。所谓反演就是关系矩阵的逆。\[B=A^T\\F*B=F*A^T=G\]利用关系矩阵，我们就可以实现两个矩阵（函数）的来回变化。二项式反演：形式一：\[A[n,i]=(-1)

Python作为一种强大且易于学习的编程语言，已广泛应用于数据科学和大气科学领域，Python凭借其强大的数据处理能力，可以高效处理海量的气溶胶数据。例如，通过Pandas库，研究人员可以进行高效的数据清洗、整理和分析；NumPy库则提供了强大的数值计算功能，能够快速进行各种数学和统计运算；Ca

两年前学的东西，今天补一下笔记。Intro考虑\(n\)个有标号的元素。令\(f_n\)表示恰好\(n\)个元素满足条件（这里的条件取决于具体问题）的方案数，\(g_n\)表示指定\(n\)个元素满足条件的方案数。那么显然有\[g_n=\sum_{i=n}^mC_i^nf_i\]比如说，对于\(f_i\)，可以选出\(n

Python作为一种强大且易于学习的编程语言，已广泛应用于数据科学和大气科学领域，Python凭借其强大的数据处理能力，可以高效处理海量的气溶胶数据。例如，通过Pandas库，研究人员可以进行高效的数据清洗、整理和分析；NumPy库则提供了强大的数值计算功能，能够快速进行各种数学和统计运算；Car

反演法（backstepping）设计思想是将复杂非线性的系统分解成不超过系统阶数的子系统，然后为每一个子系统分别设计Lyapunov函数和中间虚拟控制量，一直后退到整个系统，直到完成整个控制律的设计。解法：1，控制系统方程的导数最高阶次为n阶，含有系统输入项2，从0次阶逐级设计到n阶，其中用误

前置知识积性函数积性函数指对于所有互质的整数$a$和$b$有性质$f(ab)=f(a)f(b)$的数论函数。若对于所有整数$a$和$b$都有性质$f(ab)=f(a)f(b)$成立，则称$f(n)$是完全积性的。例如$\phi(n)$为积性函数。数论函数定义数论函数（或称算术函数）指定

不会莫比乌斯反演，所以来学。很多博客看不懂/kk。题目P2522\[\sum\limits^b_{i=a}\sum\limits_{j=c}^{d}[\gcd(i,j)=k]\]容斥，\[\sum\limits^b_{i=a}\sum\limits_{j=c}^{d}[\gcd(i,j)=k]= \sum\limits^b_{i=1}\sum\limits_{j=1}^{d}[\gcd(i,j)=k]- \sum\limits^b_{i=1}\s

以全球变暖为主要特征的气候变化已成为全球性环境问题，对全球可持续发展带来严峻挑战。2015年多国在《巴黎协定》上明确提出缔约方应尽快实现碳达峰和碳中和目标。2019年第49届 IPCC全会明确增加了基于卫星遥感的排放清单校验方法。随着碳中和目标以及全球碳盘点的现实压力，基于

前言校测被数学干碎了，赶紧来补一点容斥和反演的东西，能补多少算多少吧。特别说明：这一篇学习笔记是组合数学的第二篇。反演这是一个听着很高大上，实际不简单（因为wtcl）的东西。反演的实质对于形如下面的式子，我们称左右两式互为反演式：\[f_i=\sum^{i}_{j=1}A_{i,j}g_j\Leftrightar

T1构造字符串签到题注意到\(n\)和\(m\)较小，直接扫一遍用并查集维护他所描述的情况，并将不同的位置记录下来，若存在不同的位置属于同一个集合则不可能构成，否则贪心从前往后取mex即可。时间复杂度\(O(nm\alpha(n))\)。T2寻宝签到题首先先用并查集将大联通块缩点，注意到

本月学习任务清单本月基本都是测试，考的点从DP到数据结构再到数学不等。难度基本偏向NOIP。总结这几次考试的成绩虽然不高，但是我的一些薄弱地方得到了巩固，例如数据结构的平衡树、主席树和点分治等，数论的欧拉反演和莫比乌斯反演。但现在的问题是不知道怎么实现，或者说是变通

MODIS（中分辨率成像光谱仪）和CALIOP（云-气溶胶偏振激光雷达）是两种重要的星载遥感观测平台，它们提供了大量的气溶胶数据。MODIS通过成像光谱技术获取不同波长的遥感数据，从而得到气溶胶的空间分布、光学厚度等信息，而CALIOP则通过激光雷达技术获取气溶胶的类型和垂直分布信息。这两者

信奥中的数学：积性函数、莫比乌斯反演信奥中的数学：积性函数、莫比乌斯反演-CSDN博客莫比乌斯反演的证明（非狄利克雷卷积法）莫比乌斯反演的证明（非狄利克雷卷积法）_莫比乌斯反演公式证明-CSDN博客莫比乌斯反演定理证明（两种形式）莫比乌斯反演定理证明（两种形式）_莫比乌斯反演

随着航空、航天、近地空间等多个遥感平台的不断发展，近年来遥感技术突飞猛进。由此，遥感数据的空间、时间、光谱分辨率不断提高，数据量也大幅增长，使其越来越具有大数据特征。对于相关研究而言，遥感大数据的出现为其提供了前所未有的机遇，但同时也提出了巨大的挑战。传统的工作站和服

子集反演&sosdp学习笔记子集反演设\(g(S)\)表示集合\(S\)的答案，\(f(S)\)为\(S\)的子集的答案和。根据定义：\[f(S)=\sum_{T\inS}g(T)\]子集反演就是：\[g(S)=\sum_{T\inS}(-1)^{|S|-|T|}f(T)\]本质上就是容斥原理，可感性理解，证明略（给你你也记不住）。于是便可以通

符号规约\([A]\)，艾弗森括号，其中\(A\)为命题，若\(A\)为真，则该式值为\(1\)，否则为\(0\)。常见积性函数单位函数：\(\large{e(n)=[n=1]}\)幂函数：\(\large\operatorname{Id}_k(n)=n^k\)常数函数：\(\large{1(n)=1}\)因数个数：\(\large\operatorname{d}(n)=\sum\limits_{d\midn}1

前置需求数论分块概念对于一个形如\(\sum_{x=1}^n\lfloor{\frac{n}{x}}\rfloor\)的式子，我们发现对于一部分的\(x\)，它们的\(\lfloor{\frac{n}{x}}\rfloor\)值相同，因此我们没必要\(\mathcal{O(n)}\)计算，可以采用数论分块的办法将这一步的复杂度降低至\(\mathcal{O(\sqrt

前言万字长文！这里有我的一些思考和领会，网络上的教程都太潦草了。并且我发现了新的反演公式！概述二项式反演用于转化两个具有特殊关系的函数\(f\)和\(g\)，从而方便求解问题。一般来说，直接计算恰好满足\(n\)个限制的答案不好求，但是可以计算出“至少”/“至多”满足\(n\)

来自这位大佬的视频的整理先整理几个重要的数论函数。1.莫比乌斯函数$\mu(n)$当\(n=1\)时取1，当\(n\)存在平方因子的时候取0，否则取\((-1)^k\)，其中\(k\)是\(n\)所含的质因子数量。2.欧拉函数\(\phi(n)=\displaystyle\sum_{d=1}^n[gcd(d,n)=1]\)，就是小于等于n且与\(n\)互质

今天给大家介绍Adobe研究院新的研究TurboEdit，可以通过文本来编辑图像，通过一句话就能改变图像中的头发颜色、衣服、帽子、围巾等等。而且编辑飞快，<0.5秒。简直是图像编辑的利器。相关链接项目：betterze.github.io/TurboEdit论文：arxiv.org/abs/2408.08332论文阅读TurboEdit:Instantt

\(\text{-1前言}\)\(\text{-1.0日志}\)24.08.24：启动本文企划，正式着笔。\(\text{-1.1本文记号说明}\)本文使用\(\cdot\)表示乘号，\(*\)表示卷积，\(\mathbb{P}\)表示质数集。\(\text{0基础函数科技}\)单位函数\({\bf1}(x)=1\)。幂函数\(id^k(x)=x^k\)。恒等函数（幂

【2】容斥与二项式反演1.1容斥原理容斥原理基于的是下面的恒等式：\[\sum\limits_{i=0}^n\dbinom{n}{i}(-1)^i=0^n=[n=0]\]这个式子有什么意义呢？我们考虑一个长度为\(N\)的序列，并且要求其中每个元素都满足某个限制，计算满足这个条件的序列数量。每个元素都满足限制\(\Leftri

9.容斥与反演容斥原理：\[|\bigcup_{i=1}^nP_i|=\sum_{S\subseteqU}(-1)^{|S|-1}|\bigcap_{s\inS}P_s|\]感性理解：\(P_i\)：”满足某种性质的元素的集合“；左边：具有任意一种性质的元素的并，右边：至少具备多个性质的元素。证明：考虑一个元素\(x\)，设其包含在\(k\)个集合内，那么当

这题是欧拉反演的应用，之前没学过欧拉函数和欧拉反演，傻傻对着\(gcd(i,j)\)不知道怎么化简。首先对原来的矩阵进行转化，拆成\(n\)个小矩阵因为\(gcd(i,j)=\sum_{x|i,x|j}\phi(x)\)这是因为对于任意的正整数\(n\)都有\(n=\sum_{d|n}\phi(d)\)，证明见oiwiki：https://oi-wi