信奥中的数学：积性函数、莫比乌斯反演信奥中的数学：积性函数、莫比乌斯反演-CSDN博客莫比乌斯反演的证明（非狄利克雷卷积法）莫比乌斯反演的证明（非狄利克雷卷积法）_莫比乌斯反演公式证明-CSDN博客莫比乌斯反演定理证明（两种形式）莫比乌斯反演定理证明（两种形式）_莫比乌斯反演

符号规约\([A]\)，艾弗森括号，其中\(A\)为命题，若\(A\)为真，则该式值为\(1\)，否则为\(0\)。常见积性函数单位函数：\(\large{e(n)=[n=1]}\)幂函数：\(\large\operatorname{Id}_k(n)=n^k\)常数函数：\(\large{1(n)=1}\)因数个数：\(\large\operatorname{d}(n)=\sum\limits_{d\midn}1

前置需求数论分块概念对于一个形如\(\sum_{x=1}^n\lfloor{\frac{n}{x}}\rfloor\)的式子，我们发现对于一部分的\(x\)，它们的\(\lfloor{\frac{n}{x}}\rfloor\)值相同，因此我们没必要\(\mathcal{O(n)}\)计算，可以采用数论分块的办法将这一步的复杂度降低至\(\mathcal{O(\sqrt

来自这位大佬的视频的整理先整理几个重要的数论函数。1.莫比乌斯函数$\mu(n)$当\(n=1\)时取1，当\(n\)存在平方因子的时候取0，否则取\((-1)^k\)，其中\(k\)是\(n\)所含的质因子数量。2.欧拉函数\(\phi(n)=\displaystyle\sum_{d=1}^n[gcd(d,n)=1]\)，就是小于等于n且与\(n\)互质

一、莫比乌斯1、莫比乌斯函数：\(u(n)=\left\{\begin{array}{l}1\qquad\qquadn=1\\0\qquad\qquadn含有平方因子\\(-1)^{k}\qquadn里面所包含质因子数目\end{array}\right.\)令\(\varepsilon(n)=\sum_{d|n}^{n}u(d)=[n=1]\)，那么我们有\(\varepsilon=u\*\1\)

莫比乌斯系列莫比乌斯函数定义\[\mu(n)=\begin{cases}1&n=1\\0&n含有平方因子\\(-1)^k&k为n的本质不同质因子个数\end{cases}\]性质\(\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\)，即\(\mu*1=\epsilon\)。\(\varphi(n)=\sum_{d|n}\mu(d)\times\d

数论只有几道套路题，严谨证明请转oi-wiki。预处理数论分块简单来说就是求：\[\sum_{i=1}^{n}{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\]因为\(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)最多有\(2\sqrt{n}\)个取值，所以我们可以枚举答案，复杂度\(O(\sqrt{n})\)。证明：\(\foralld\in[1,n]\)

由于一道题目用到了莫反，所以学了一下，赶紧隔了好几天才想起来记下来。STO忘忧老师是神！！！/bx/bx/bx莫比乌斯反演前置芝士：莫比乌斯函数：\(\mu\)为莫比乌斯函数，定义为:\[设：\n=\prod_{i=1}^{k}p_i^{c_i}\\则：\mu(n)=\begin{cases}1&n=1\\0&\existc_i>1\\(-1)^k&\forallc

数列分块常与数列分块连用向下取整括号一定要加对 intEnd=0,N=a/d,M=b/d; if(N<M)swap(N,M); for(intStart=1;Start<=M;Start=End+1) { End=min(N/(N/Start),M/(M/Start));//注意边界 ans+=(sum[End]-sum[Start-1])*(longlong)(N/Start)*(M/Start);//注意括号

莫比乌斯反演前置芝士：数论分块求\(\sum\limits_{i=1}^n\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)，其中\(n\le10^{12}\)。可以发现，\(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)最多只有\(\sqrt{n}\)种取值，所以只需要枚举每种取值对应\(i\)的取值范围即可。llans=0;for(inti=1,j;i<=n;i=

9.莫比乌斯函数与莫比乌斯反演9.1莫比乌斯函数9.1.1定义设\(\mu\)为莫比乌斯函数，则有：\[\mu(x)=\begin{cases}1\qquad(n=1)\\0\qquad(∃\i\(ki=x,k\inZ\rightarrow\sqrt{i}\inZ))\\(-1)^{\sum_{i\inprime}[i\midx]}\end{cases}\]直观地说，只要\(x\)的某个质

前置知识：积性函数。定义：一个函数\(f\)，若\(\forall\gcd(a,b)=1\)，都有\(f(a)\timesf(b)=f(a\timesb)\)，则它是积性函数。一个函数\(f\)，若\(\forall(a,b)\)，都有\(f(a)\timesf(b)=f(a\timesb)\)，则它是完全积性函数。正题狄利克雷卷积先放一张图方便下文理解(copyz

\[\]前段时间学习了莫比乌斯反演，现在补一篇学习笔记吧。Step1：莫比乌斯函数首先我们来定义一下莫比乌斯函数\(\mu\)，它的取值如下：\[\mu(n)=\left\{ \begin{array}{ll} 1\qquad\quadn=1\\ (-1)^k\quadn=p_1p_2\cdotsp_k\\ 0\qquad\quadotherwise \end{array}

链接链接2链接3链接4前置知识：数论分块可以求形如：\(\sumf(i)g(\left\lfloorn/i\right\rfloor)\)的东西。原理如下：比如说求$\sum_{i=1}^{10}\left\lfloor10/i\right\rfloor$得到：10532211111可以发现有一些块的数值是一样的。具体一点可以发现\([l

莫比乌斯函数定义\[\mu(x)=\left\{\begin{matrix}1&x=1\\(-1)^m&x=p_1\\0other\end{matrix}\right.\]求法方法1.直接暴力分解质因数太水了。方法2.埃氏筛\(O(n\log\logn)\)方法3.线性筛for(inti=2;i<=n;i++){ if(!is_prime[i]){ prime[++cnt]=i;

莫比乌斯函数定义莫比乌斯函数为\(\mu(n)=\begin{cases}1&n=1\\(-1)^r&&n=p_1\timesp_2\timesp_3\cdots\cdotsp_r\\0&\text{其他}\end{cases}\)。定理:\(\sum_{d|n}\mu(d)=\begin{cases}1&n=1\\0&n>

莫比乌斯环：单一而无限的象征莫比乌斯环，这个拓扑学上的奇观，以其独特的一体两面特性，完美地映射了ITIL4服务价值系统的精髓。它象征着无限、统一和连续性，提示我们看待事物时应超越传统二元对立的视角，理解事物间深刻的内在联系和连续性。ITIL4服务价值链：莫比乌斯上的价值流转正如

其实这道题目是莫比乌斯反演的入门题目，whatever，我们可以不从莫比乌斯反演的角度理解由于这道题目\(a,b\)的值可以不同，所以不用数论容斥，换一个角度，考虑把\(k\)除进去然后互质所以主要就是解释一下\(F[a,b]\)是怎么推导的我们从容斥原理的角度考虑。对于任意一个二元组\((x,y)\)，

莫比乌斯反演莫比乌斯函数\(\mu(d)\)是积性函数\[\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\]反演的两种形态设F,f为数论函数\[F(n)=\sum_{d|n}f(d)\]用狄利克雷卷积的简要证明\[F=f*I\\\becauseI*\mu=\epsilon\\F*\mu=f*I*\mu\\F*\mu=f\]四大要点公式推导：等价变换：线性筛法：分块处

莫比乌斯反演学习笔记前言之前学了一遍，只学了朴素的莫比乌斯反演，现在第二次面对不知道能否有所长进。性质莫比乌斯反演是数论中的重要内容。对于一些函数\(f(n)\)，如果难以直接求出它的值，但容易求得其倍数和或约数和\(g(n)\)，那么可以通过莫比乌斯函数反演简化运算，从而求得\(

积性函数：若函数\(f(x)\)满足：\(f(1)=1\)且\(∀x,y∈N_+,\gcd(x,y)=1\)都有\(f(xy)=f(x)f(y)\)，则称它为积性函数。若函数\(f(x)\)满足：\(f(1)=1\)且\(∀x,y∈N_+\)都有\(f(xy)=f(x)f(y)\)，则称它为完全积性函数。性质：若\(f(x),g(x)\)均为积性函数，那么则以下函数也为

莫比乌斯反演目录莫比乌斯反演反演公式&性质例题[HAOI2011]ProblembYY的GCD于神之怒加强版Crash的数字表格/JZPTAB[SDOI2014]数表[SDOI2015]约数个数和反演公式&性质\[f(n)=\sum_{d|n}g(d)\\g(n)=\sum_{d|n}\mu(d)f(\fracnd)\]感觉我不太会用上面那个我只会用莫比乌斯函

数论分块引理\[\lfloor\frac{a}{bc}\rfloor=\lfloor\frac{\lfloor\frac{a}{b}\rfloor}{c}\rfloor\]数论分块对于\(\displaystyleh(i)=\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)，设\(f(l)=x\)。则\(\displaystyle\foralli\in[l,\lfloor\frac{n}{\lfloor\frac{n}{l

莫比乌斯反演假设现在有一个函数\(f\)，令\(F(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)\)，如\(F(1)=f(1),F(4)=f(1)+f(2)+f(4)\)，现在我们要通过\(F\)反推\(f\)，如\(f(1)=F(1),f(4)=F(4)-F(2)\)，这就是莫比乌斯反演。可以推出这样的公式：\(F(n)=\sum\limits_{d|n}f(d

莫比乌斯反演补了补暑假欠下的账（你怎么寒假才学）推狮子>>写代码。数论函数：定义域为正整数的函数。积性函数，对于一个数论函数，任意两个互质的正整数\(x,y\)，都有\(f(xy)=f(x)f(y)\)完全积性函数就是不要求\(x,y\)互质的积性函数。常见的积性函数：单位函数\(\epsilon(n)