前言
三角形中的各种常用的线段，若换用向量形式的符号语言来刻画，则大多学生可能会极度恐惧，因此有必要将三角形中常用的各种线段的向量表示形式好好作以总结储备。
常用结论
1、与非零向量 \(\vec{a}\) 共线的单位向量 \(\vec{a_0}\) 为两个，\(\vec{a_0}=\pm\cfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\)； \(\cfrac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}\) 刻画的是和向量 \(\overrightarrow{AB}\) 同方向的单位向量 ， \(-\cfrac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}\) 刻画的是和向量 \(\overrightarrow{AB}\) 反方向的单位向量 .
2、在 \(\triangle ABC\) 中，令 \(\overrightarrow{AB}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{AC}=\vec{b}\)，以 \(\{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\}\) 为基底，则可以表示三角形中的各种线对应的向量。如图所示，\(AD\)，\(AE\)，\(AF\) 分别是三角形的底边 \(BC\) 上的中线、角平分线，高线；\(L\) 为平面内一点，
三角形的中线向量：\(\overrightarrow{AD}=\cfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\cfrac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})\)；
三角形的中垂线向量：\(|\overrightarrow{LB}|=|\overrightarrow{LC}|\)，则 \(LD\) 为中垂线；
三角形的高线向量：\(\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AF}\cdot(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{AF}\cdot(\vec{a}-\vec{b})=\overrightarrow{AF}\cdot\vec{a}-\overrightarrow{AF}\cdot\vec{b}=0\)，
三角形的角平分线向量：\(\overrightarrow{AE}\)\(=\)\(\lambda(\cfrac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}\)\(+\)\(\cfrac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})\)\(=\)\(\lambda(\cfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\)\(+\)\(\cfrac{\vec{b}}{|\vec{b}|})\) 或 \(\overrightarrow{AE}\)\(\cdot\)\((\cfrac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}\)\(-\)\(\cfrac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})=0\)
三角形的顶角平分线和底边中线重合的刻画：\(\bigg(\cfrac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}\)\(+\)\(\cfrac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}\bigg)\)\(\cdot\)\(\overrightarrow{BC}\)\(=\)\(0\)，或者 \(\bigg(\cfrac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}\)\(+\)\(\cfrac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}\bigg)\) \(//(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\)
典例剖析
解析： 本题目中，表达式 \(\bigg(\cfrac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}\)\(+\)\(\cfrac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}\bigg)\) 刻画的是 \(\angle A\) 的平分线向量，
由题目可知，\(\bigg(\cfrac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}\)\(+\)\(\cfrac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}\bigg)\)\(\cdot\)\(\overrightarrow{BC}\)\(=\)\(0\)，则说明 \(\angle A\) 的平分线和 \(BC\) 边垂直，则三角形 \(\triangle ABC\) 为等腰三角形，[顶角平分线和底边高线合一的三角形是等腰三角形]
又 \(\cfrac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}\)\(\cdot\)\(\cfrac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}\)\(=\)\(\cfrac{1}{2}\)，说明和向量 \(\overrightarrow{AB}\)、 \(\overrightarrow{AC}\)同方向的单位向量的内积为\(\cfrac{1}{2}\)，所以 \(\cos A=\cfrac{1}{2}\)，则 \(\angle A=60^{\circ}\) .
故三角形 \(\triangle ABC\) 为等边三角形， 选 \(D\) .
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