设 $A$ 为 $n$ 阶复矩阵, 则由 Jordan 标准型理论可知, 存在非异阵 $P$, 使得
$$P^{-1}AP=J=\mathrm{diag}\{J_{r_1}(\lambda_1),J_{r_2}(\lambda_2),\cdots,J_{r_k}(\lambda_k)\}$$
为 Jordan 标准型. 一般的, 通过计算特征矩阵 $\lambda I_n-A$ 的法式可得 $A$ 的初等因子组, 从而可写出 $A$ 的 Jordan 标准型 $J$. 然而, 过渡矩阵 $P$ 的计算通常比较复杂, 我们在高代白皮书第 7.7 节介绍了求过渡矩阵的三种方法. 本文将给出其中第三种方法——利用循环轨道求 Jordan 标准型的过渡矩阵的严格证明.
我们先讨论 $A$ 是幂零阵的特殊情形, 然后再讨论一般的情形.
Part I 特殊情形
设 $A$ 是幂零阵, 其幂零指数为正整数 $k$, 即满足 $A^k=O$, $A^{k-1}\neq O$.
引理 1 假设同上, 则 $\dim(\mathrm{Ker}A\cap\mathrm{Im}A^i)=r(A^i)-r(A^{i+1})$, $1\leq i\leq k-1$.
证明 将 $A$ 看成是 $V=\mathbb{C}^n$ 上的线性变换, 下面考虑限制映射
$$A^i|_{\mathrm{Ker}A^{i+1}}:\mathrm{Ker}A^{i+1}\to\mathrm{Ker}A,\quad 1\leq i\leq k-1.$$
任取 $\alpha\in\mathrm{Ker}(A^i|_{\mathrm{Ker}A^{i+1}})$, 即 $\alpha\in\mathrm{Ker}A^{i+1}$ 且 $A^i\alpha=0$, 从而 $\alpha\in\mathrm{Ker}A^i$, 于是 $\mathrm{Ker}(A^i|_{\mathrm{Ker}A^{i+1}})=\mathrm{Ker}A^i$. 任取 $\alpha\in\mathrm{Ker}A^{i+1}$, 则显然 $A^i\alpha\in\mathrm{Ker}A\cap\mathrm{Im}A^i$. 反之, 任取 $\beta\in\mathrm{Ker}A\cap\mathrm{Im}A^i$, 则可设 $\beta=A^i\alpha$, 其中 $\alpha\in V$, 且 $0=A\beta=A^{i+1}\alpha$, 从而 $\alpha\in\mathrm{Ker}A^{i+1}$, 于是 $\mathrm{Im}(A^i|_{\mathrm{Ker}A^{i+1}})=\mathrm{Ker}A\cap\mathrm{Im}A^i$. 最后由线性映射的维数公式可得
$$\dim(\mathrm{Ker}A\cap\mathrm{Im}A^i)=\dim(\mathrm{Ker}A^{i+1})-\dim(\mathrm{Ker}A^i)=n-r(A^{i+1})-(n-r(A^i))=r(A^i)-r(A^{i+1}).\,\,\,\,\Box$$
注 事实上, 我们有 $\mathrm{Ker}A$ 的如下子空间链:
$$0\subseteq \mathrm{Ker}A\cap\mathrm{Im}A^{k-1}\subseteq \mathrm{Ker}A\cap\mathrm{Im}A^{k-2}\subseteq \cdots\subseteq \mathrm{Ker}A\cap\mathrm{Im}A\subseteq \mathrm{Ker}A,$$
由引理 1 和高代白皮书例 7.52 的证明过程可知, 子空间 $\mathrm{Ker}A\cap\mathrm{Im}A^i$ 的维数 $r(A^i)-r(A^{i+1})$ 等于 $A$ 的 Jordan 标准型 $J$ 中特征值为零的阶数大于等于 $i+1$ 的 Jordan 块的个数. $\mathrm{Ker}A$ 的上述子空间链是我们处理幂零矩阵情形的关键点.
以下设 $A$ 的 Jordan 标准型
$$J=\mathrm{diag}\{J_1(0),\cdots,J_1(0);J_2(0),\cdots,J_2(0);\cdots;J_k(0),\cdots,J_k(0)\},$$
其中 Jordan 块 $J_i(0)$ 有 $n_i$ 个 ($1\leq i\leq k$). 下面分 $k$ 步来选取上述 Jordan 块对应的循环轨道的循环向量.
(1) 由引理 1 可知 $\dim(\mathrm{Ker}A\cap\mathrm{Im}A^{k-1})=r(A^{k-1})-r(A^k)=r(A^{k-1})=n_k$, 故可从 $A^{k-1}$ 的 $n$ 个列向量中选取 $n_k$ 个线性无关的列向量 $A^{k-1}\xi^{(k-1)}_1,A^{k-1}\xi^{(k-1)}_2,\cdots,A^{k-1}\xi^{(k-1)}_{n_k}$, 使之成为 $\mathrm{Ker}A\cap\mathrm{Im}A^{k-1}$ 的一组基, 比如 $\xi^{(k-1)}_1,\xi^{(k-1)}_2,\cdots,\xi^{(k-1)}_{n_k}$ 可取为 $n$ 维标准单位列向量中的 $n_k$ 个.
(2) 由引理 1 可知 $\dim(\mathrm{Ker}A\cap\mathrm{Im}A^{k-2})=r(A^{k-2})-r(A^{k-1})=n_{k-1}+n_k$. 注意到 (1) 中 $n_k$ 个列向量已是 $\mathrm{Ker}A\cap\mathrm{Im}A^{k-2}$ 中线性无关的向量, 又 $\mathrm{Ker}A\cap\mathrm{Im}A^{k-2}$ 是线性映射 $A^{k-2}|_{\mathrm{Ker}A^{k-1}}:\mathrm{Ker}A^{k-1}\to\mathrm{Ker}A$ 的像空间, 故由基扩张定理可知, 存在 $\xi^{(k-2)}_1,\xi^{(k-2)}_2,\cdots,\xi^{(k-2)}_{n_{k-1}}\in\mathrm{Ker}A^{k-1}$, 使得 $A^{k-2}\xi^{(k-2)}_1,A^{k-2}\xi^{(k-2)}_2,\cdots,A^{k-2}\xi^{(k-2)}_{n_{k-1}}$; $A^{k-1}\xi^{(k-1)}_1,A^{k-1}\xi^{(k-1)}_2,\cdots,A^{k-1}\xi^{(k-1)}_{n_k}$ 成为 $\mathrm{Ker}A\cap\mathrm{Im}A^{k-2}$ 的一组基.
$\cdots\cdots\cdots\cdots$
(k-1) 由引理 1 可知 $\dim(\mathrm{Ker}A\cap\mathrm{Im}A)=r(A)-r(A^2)=n_2+\cdots+n_{k-1}+n_k$. 注意到前面构造的 $n_3+\cdots+n_k$ 个列向量已是 $\mathrm{Ker}A\cap\mathrm{Im}A$ 中线性无关的向量, 又 $\mathrm{Ker}A\cap\mathrm{Im}A$ 是线性映射 $A|_{\mathrm{Ker}A^2}:\mathrm{Ker}A^2\to\mathrm{Ker}A$ 的像空间, 故由基扩张定理可知, 存在 $\xi^{(1)}_1,\xi^{(1)}_2,\cdots,\xi^{(1)}_{n_2}\in\mathrm{Ker}A^2$, 使得 $A\xi^{(1)}_1,A\xi^{(1)}_2,\cdots,A\xi^{(1)}_{n_2}$; $A^2\xi^{(2)}_1,A^2\xi^{(2)}_2,\cdots,A^2\xi^{(2)}_{n_3}$; $\cdots$; $A^{k-1}\xi^{(k-1)}_1,A^{k-1}\xi^{(k-1)}_2,\cdots,A^{k-1}\xi^{(k-1)}_{n_k}$ 成为 $\mathrm{Ker}A\cap\mathrm{Im}A$ 的一组基.
(k) 注意到 $\dim\mathrm{Ker}A=n-r(A)=n_1+n_2+\cdots+n_k$ 以及前面构造的 $n_2+\cdots+n_k$ 个列向量已是 $\mathrm{Ker}A$ 中线性无关的向量, 故由基扩张定理可知, 存在 $\xi^{(0)}_1,\xi^{(0)}_2,\cdots,\xi^{(0)}_{n_1}\in\mathrm{Ker}A$, 使得 $\xi^{(0)}_1,\xi^{(0)}_2,\cdots,\xi^{(0)}_{n_1}$; $A\xi^{(1)}_1,A\xi^{(1)}_2,\cdots,A\xi^{(1)}_{n_2}$; $\cdots$; $A^{k-1}\xi^{(k-1)}_1,A^{k-1}\xi^{(k-1)}_2,\cdots,A^{k-1}\xi^{(k-1)}_{n_k}$ 成为 $\mathrm{Ker}A$ 的一组基.
定理 2 上述构造的 $n_1+n_2+\cdots+n_k$ 个列向量 $\xi^{(i-1)}_j\,(1\leq i\leq k,\,1\leq j\leq n_i)$ 是 $A$ 的 Jordan 标准型 $J$ 的 Jordan 块对应的循环轨道的循环向量, 即 $A^l\xi^{(i-1)}_j\,(1\leq i\leq k,\,1\leq j\leq n_i,\,0\leq l\leq i-1)$ 构成了 $V=\mathbb{C}^n$ 的一组基. 令
$$P_{ij}=(A^{i-1}\xi^{(i-1)}_j,A^{i-2}\xi^{(i-1)}_j,\cdots,A\xi^{(i-1)}_j,\xi^{(i-1)}_j),\,\,1\leq i\leq k,\,1\leq j\leq n_i,$$
$$P=(P_{11},P_{12},\cdots,P_{1n_1};P_{21},P_{22},\cdots,P_{2n_2};\cdots;P_{k1},P_{k2},\cdots,P_{kn_k})$$
为上述基按列分块方式拼成的非异阵, 则有
$$P^{-1}AP=J=\mathrm{diag}\{J_1(0),\cdots,J_1(0);J_2(0),\cdots,J_2(0);\cdots;J_k(0),\cdots,J_k(0)\}.$$
证明 注意到 $A^l\xi^{(i-1)}_j\,(1\leq i\leq k,\,1\leq j\leq n_i,\,0\leq l\leq i-1)$ 恰好是 $n$ 个列向量, 只要证它们线性无关, 则它们必为 $V$ 的一组基. 类似于高代白皮书例 7.62 的证明, 直接利用线性无关的定义来验证, 细节留给读者完成. $\Box$
Part II 一般情形
引理 3 设 $A$ 是 $n$ 阶复方阵, 其特征多项式 $f(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{r_1}(\lambda-\lambda_2)^{r_2}\cdots(\lambda-\lambda_k)^{r_k}$, 其中 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k$ 是 $A$ 的全体不同特征值. 设特征值 $\lambda_i$ 的根子空间 $V_i=\mathrm{Ker}(A-\lambda_iI_n)^{r_i}$,
$$f_i(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{r_1}\cdots(\lambda-\lambda_{i-1})^{r_{i-1}}(\lambda-\lambda_{i+1})^{r_{i+1}}\cdots(\lambda-\lambda_k)^{r_k},$$
则 $V=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_k$ 并且 $V_i=\mathrm{Im}f_i(A)$.
证明 根子空间直和分解是高代白皮书例 7.87, 第二个结论是高代白皮书例 6.94. $\Box$
假设与记号同引理 3, 设 $A_i=A-\lambda_i I_n$, 则由引理 3 可知 $A_i|_{V_i}$ 是 $V_i$ 上的幂零线性变换.
(1) 根据幂零情形的讨论, 可得 $A_i|_{V_i}$ 在 $V_i$ 中的循环轨道的循环向量. 特别地, 第一步的循环向量可取 $f_i(A)$ 的线性无关的列向量.
(2) 把这些循环向量生成 $V_i$ 的一组基, 再由根子空间直和分解拼成 $V$ 的一组基.
(3) 将 $V$ 的这组基按照列分块的方式拼成非异阵 $P$, 则 $P^{-1}AP=J$ 为 $A$ 的 Jordan 标准型.
一个简单的例子可参考高代白皮书例 7.63.
参考文献
高代白皮书: 谢启鸿, 姚慕生. 高等代数 (第四版), 大学数学学习方法指导丛书. 复旦大学出版社, 2022.
标签：xi,leq,矩阵,标准型,cdots,Jordan,lambda,Ker,mathrm From： https://www.cnblogs.com/torsor/p/16787466.html