大坑填不完一点。
1.矩阵乘法
当且仅当对于一个 \(n\times m\) 的矩阵 \(A\) 和 \(m\times k\) 的矩阵 \(B\)，\(A\times B=C\)。
此时 \(C\) 为一个 \(n\times k\) 的矩阵且 \(C_{i,j}=\sum_{s=1}^{m}A_{i,s}+B_{s,j}\)。
虽然说不是很理解为什么这么做就是了。
比如说对于矩阵 \(A\) 和 \(B\)：
\(\begin{bmatrix}1&1&4\\5&1&4\end{bmatrix}\) 和 \(\begin{bmatrix}1\\9\\1\end{bmatrix}\) ，它们的积是 \(\begin{bmatrix}1\times 1+1\times9+4\times1\\5\times1+1\times9+4\times1\end{bmatrix}\)。即 \(\begin{bmatrix}14\\18\end{bmatrix}\)。
感性理解一下就是 把 \(B\) 矩阵每一列跟 \(A\) 矩阵每一行乘起来组成矩阵 \(C\)。
对于一个 \(n\times m\) 矩阵 \(A\)，它乘以一个 \(m\times m\) 的正方形矩阵 \(B\)，得到的结果大小仍然是 \(n\times m\)。易得。
对于一个 \(m\times k\) 的矩阵 \(B\)，我们可以靠补 \(0\) 的方式补成 \(m\times m\) 的矩阵。如上面的例子，矩阵 \(B\) 就是 \(\begin{bmatrix}1&0&0\\9&0&0\\1&0&0\end{bmatrix}\)。
那么求得的矩阵 \(C\) 变为 \(\begin{bmatrix}14&0&0\\18&0&0\end{bmatrix}\)。
注意矩阵乘法没有交换律，有结合律。
- 矩阵单位一
就是令 \(A \times B=A\) 的矩阵 \(B\)。考虑如何构造。
令 \(A\) 为 \(n\times m\) 矩阵，则 \(B\) 首先一定是 \(m\times m\) 的矩阵。
再感性理解一下，\(B\) 矩阵第一列乘上 \(A\) 矩阵第一行，得到的 \(C_{1,1}=A_{1,1}\) 也就是说 \(B\) 矩阵第一列只在第一行有 \(1\)，其他全是 \(0\)。
然后这么感性理解下去就会得到一个这样的矩阵 \(B\)：从左上到右下的对角线上是 \(1\)，其他的全是 \(0\)。
有了这两个就有了矩阵快速幂。在 dp 优化里面发挥着很大作用。
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