数位dp学习笔记

数位dp的问题题型一般是给定一个闭区间[L,R]，求这个区间中满足“某种条件”的数的个数的总数
对于这类问题，我们首先统计[L,R]范围的满足条件的数字转化成统计[1,N]内满足条件的数字的数量

那么 ans[L,R]=ans[1,R]-ans[1,L-1];

先将n转换成字符串str，使用记忆化搜索

定义dfs函数

function<int(int,int,bool,bool)> dfs = [&](int i,int mask,int limit,int isnum)->int{  
};

• i表示构造第i位及其之后数位的合法方案数
• mask表示之前的选择的数字的集合，使用二进制表示集合，有些题比如每个数字只能选择一个，那么就需要mask的限制
• limit表示当前是否受到了右区间n的约束，如果limit = true，表示当前位选择的数字不能超过 str[i]中的数字，因为构造的数字不能超过n，如果limit = false，则可以填0到9
• isnum表示i前面是否填了数字，这是为了避免前导0导致mask的误判，比如010是合法的，但是会因为有前导0而判重，导致误认为其不合法，如果isnum = false，则表示i之前都是跳过的，表示并没有填数字，若为假，则当前位可以跳过（不填数字），或者要填入的数字至少为 1；若为真，则要填入的数字可以从 0 开始。例如 n=123，在 i=0 时跳过的话，相当于后面要构造的是一个 99 以内的数字了，如果 i=1 不跳过，那么相当于构造一个 10 到 99 的两位数，如果 i=1 跳过，相当于构造的是一个 9 以内的数字。

递归入口

dfs(0,0,true,false);

• 表示从str[0]开始枚举，一开始没有选择任何数字，所以集合为空，一开始是最高位所以一定会受到n的限制，所以为true，一开始没有填数字，所以isnum为false

对于mask使用二进制表示集合的方式，我们将mask的每一二进制位从低到高进行表示，i=1表示在集合中，i=0表示不在，比如集合\(\{0,2,3\} = 1101\)

对其操作的话，有两种操作:

• 判断元素d是否在集合中：x>>d&1 可以取出x的第d个比特位，如果为1则证明在集合中
• 把元素d加到集合中，x|(1<<d)

步骤：例题[2376. 统计特殊整数 ](2376. 统计特殊整数 - 力扣（LeetCode）)

class Solution {
public:
    int countSpecialNumbers(int n) {
        auto str=to_string(n);
        int m = str.length(); 
        int mem[m][1<<10]; //左移10位，可以表示0~9的集合
        memset(mem,-1,sizeof(mem));//全部赋值-1，可以判断是否记忆过
        function<int(int,int,bool,bool)> dfs=[&](int i,int mask,bool limit,bool isnum)->int{
            if(i==m) return isnum; //到达了最后一位，通过判断是否非空进行累加
            if(!limit&&isnum&&mem[i][mask]!=-1){ //有记忆返回记忆
                return mem[i][mask];
            }
            int res=0;//统计总数
            if(!isnum) res=dfs(i+1,mask,false,false); //如果i之前跳过了，则可以继续跳过，集合无变化，之后也将不会受限
            int up=limit? str[i]-'0':9; //up表示可以去取的数字d的上限，若没有限制，则0~9都可以取
            for(int d=1-isnum;d<=up;d++){ //如果i之前跳过了，那么只能从1开始，否则可以从0开始,直到上限
                if((mask>>d&1)==0){ //判断d是否在集合中，不在的话可以选择
                    res+=dfs(i+1,mask|(1<<d),limit&&d==up,true);//如果之前未受到限制，则一定比n小，之后也不会受到限制，或者说之前受到了限制，但是这一位并没有到达上限，则也一定会严格小于n，下一位不会受到限制
                }
            }
            if(!limit&&isnum){ //如果没受到限制同时非空，就可以记忆下来
                mem[i][mask]=res;
            }
            return res;
        };
        return dfs(0,0,true,false);
    }
};

步骤：[P4999 烦人的数学作业 - 洛谷](P4999 烦人的数学作业 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn))

int work(int x){
    auto str=to_string(x);
    int m=str.size();
    int mem[200][200];
    ms(mem,-1);
    function<int(int,int,bool,bool)> dfs=[&](int i,int sum,bool limit,bool isnum)->int{
        if(i==m) return isnum?sum:0;
        if(!limit&&isnum&&mem[i][sum]!=-1) return mem[i][sum];
        int ans=0;
        if(!isnum) ans=(dfs(i+1,sum,false,false));
        int up=limit?str[i]-'0':9;
        for(int d=1-isnum;d<=up;d++){
            ans=(ans+dfs(i+1,sum+d,limit&&up==d,true))%MOD;
        }
        if(!limit&&isnum){
            mem[i][sum]=ans;
        }
        return ans;
    };
    return dfs(0,0,true,false);
}
inline void solve(){
    int l,r;
    cin>>l>>r;
    l--;
    cout<<(work(r)-work(l)+MOD)%MOD<<"\n";
}

借鉴资料：

• [灵茶大佬的讲解](2376. 统计特殊整数 - 力扣（LeetCode）)
• 数位dp思路总结及洛谷例题讲解