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ACM基础数论笔记

时间：2024-02-04 10:57:50浏览次数：29  
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基础数论部分

整除

定义

设\(a,b\in Z,a\neq0,若\exist q \in Z 使得b=aq\)，则b可被a整除，记作\(a\mid b\)，称b是a的倍数，a是b的约数

不能整除 \(a\nmid b\)

定理

  1. \(a\mid{b}\iff -a\mid{b} \iff a\mid{-b}\iff |a|\mid|b|\)
  2. \(a\mid b且b\mid c\Rightarrow a\mid c\)
  3. \(a\mid b 且 a\mid c \iff 对\forall x,y\in Z,有a\mid {bx+cy}\)
  4. \(m\neq 0 ,a\mid b \iff ma\mid mb\)
  5. \(a\mid b 且 b\mid a \Rarr b=\pm a\)
  6. \(b\neq 0,a\mid b \Rarr|a|\le|b|\)

约数

对于一个数n，其约数定义为能够整除n的数，在整数域内等价于因数

试除法求n的所有约数:

vector<int> get_divisors(int x){
    vector<int> res;
    for (int i = 1; i <= x / i; i ++ )
        if (x % i == 0){
            res.push_back(i);
            if (i != x / i) res.push_back(x / i);
        }
    sort(res.begin(), res.end());
    return res;
}

最大公约数(GCD)

指两个或多个整数中共有的约数中最大的一个\(a,b\)的最大公约数记为\((a,b)\)或\(\gcd(a,b)\)

特别的\(\gcd(0,a)=a\)

最常见使用辗转相除法求gcd

int gcd(int a,int b){
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

最小公倍数(LCM)

两个或多个整数最小的公共倍数，\(a,b\)的LCM记为\([a,b]\)

公式：\([a,b]=a/(a,b)*b\)

ll lcm(ll m,ll n){
    ll g1,b;
    g1 = __gcd(m,n);
    b = (m*n) / g1; 
    return b;
}

质数

一个正数p除了\(\pm 1,\pm p\)之外无其他约数，则称p为质数

若a是一个合数，则必有质数p，\(p\mid a\)

质数的个数是无穷的

判定质数的方法

试除法判质数

适用于数据范围\(\le10^{12}\)

试除法的原理就是用\([2,\sqrt{n}]\)内的所有数试着除n，如果都不能整除，就是素数

时间复杂度\(O(\sqrt{n})\)

bool isPrime(int x){
    if(x<2){
        return false;
    }
    for(int i=2;i<=x/i;i++){
        if(x%i==0){
            return false;
        }
    }
    return true;
}

//常数优化 sqrt(x)/3
bool isPrime(int n) {
    if (n == 1) return false;
    if (n == 2 || n == 3) return true;
    if (n % 6 != 1 && n % 6 != 5) return false;
    for (int i = 5, j = n / i; i <= j; i += 6) {
        if (n % i == 0 || n % (i + 2) == 0) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

Miller Rabin素性测试

适用于数据范围\(>10^{12}\)时使用

费马素性测试：基于费马小定理

找一个数x，判定\(a^{m-1}mod\space m\equiv 1\),如果找到\(n\)个数满足判定，就把m认为是质数

正是由于费马小定理无法判断伪质数也叫Carmichael数，所以费马素性测试并不能保证完全正确

二次探测定理：如果\(p\)是一个奇素数，且\(e\ge 1\),则方程\(x^2\equiv1(mod\space p^e)\)仅有两个解：\(x=1和x=-1\)，\(e=1\)时方程仅有两个解\(x=1和x=p-1\)，称其为平凡平方根

Miller Rabin算法在费马素性测试基础上通过二次探测定理改进而来

如果一个数满足方程\(x^2\equiv1(mod\space n)\)但\(x\)不等于平凡平方根1或n-1，则称其为非平凡平方根，如果对模n存在1的非平凡平方根，n就是合数

ll mul(ll a, ll b, ll m) {
    return static_cast<__int128_t>(a) * b % m;
}
ll power(ll a, ll b, ll m) {
    ll res = 1 % m;
    for (; b; b >>= 1, a = mul(a, a, m))
        if (b & 1)
            res = mul(res, a, m);
    return res;
}
bool isprime(ll n) {
    if (n < 2)
        return false;
    static constexpr int A[] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23};
    int s = __builtin_ctzll(n - 1);
    ll d = (n - 1) >> s;
    for (auto a : A) {
        if (a == n)
            return true;
        ll x = power(a, d, n);
        if (x == 1 || x == n - 1)
            continue;
        bool ok = false;
        for (int i = 0; i < s - 1; ++i) {
            x = mul(x, x, n);
            if (x == n - 1) {
                ok = true;
                break;
            }
        }
        if (!ok)
            return false;
    }
    return true;
}

标准分解形式

\(n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}...p_n^{k_n}\) \(\{p_1<p_2<...<p_n\}\)

\(p_i\)为质数，也为质因数分解形式

算数基本定理：任意一个大于1的整数都可以被分解成若干个质数相乘的形式

  1. 设\(n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_n^{a_n}\)

    \(m=p_1^{b_1}p_2^{b_2}...p_n^{b_n}\)

    若\(0\le b_i\le a_i,i=1,...,k\)，则m是n的正因数

  2. 设\(n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_n^{a_n}，a_i>0,i=1,2,...,k\)，则n的正因数个数有\((a_1+1)(a_2+1)...(a_k+1)\)个

  3. 设\(n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_n^{a_n}\)

    \(m=p_1^{b_1}p_2^{b_2}...p_n^{b_n}\)

    则\((a,b)=p_1^{\gamma_1}p_2^{\gamma_2}...p_n^{\gamma_n}\)

    \([a,b]=p_1^{\sigma_1}p_2^{\sigma_2}...p_n^{\sigma_n}\)

    其中 \(\gamma_i=min(a_i,b_i),\sigma_i=max(a_i,b_i),i=1,2,...,k\)

  4. 约数之和：\((p_1^0+p_1^1+...+p_1^{k_1})*(p_2^0+p_2^1+...+p_2^{k_2})*...*(p_n^0+...+p_k^{k_n})\)

质因数分解

试除法分解质因数

时间复杂度\(O(\sqrt{n})\)

map<int,int> cnt;
void divide(int x){
    for(int i=2;i<=x/i;i++){
        if(x%i==0){
            while(x%i==0){
                x/=i;
                cnt[i]++;
            }
        }
    }
    if(x>1) cnt[x]++;
}

Pollard Rho算法

pollard rho用于求解大数质因子问题，使用Miller Rabin判断质数，原理是生日悖论，了解即可

ll mul(ll a, ll b, ll m) {
    return static_cast<__int128_t>(a) * b % m;
}
ll power(ll a, ll b, ll m) {
    ll res = 1 % m;
    for (; b; b >>= 1, a = mul(a, a, m))
        if (b & 1)
            res = mul(res, a, m);
    return res;
}
bool isprime(ll n) {//Miller Rabin部分
    if (n < 2)
        return false;
    static constexpr int A[] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23};
    int s = __builtin_ctzll(n - 1);
    ll d = (n - 1) >> s;
    for (auto a : A) {
        if (a == n)
            return true;
        ll x = power(a, d, n);
        if (x == 1 || x == n - 1)
            continue;
        bool ok = false;
        for (int i = 0; i < s - 1; ++i) {
            x = mul(x, x, n);
            if (x == n - 1) {
                ok = true;
                break;
            }
        }
        if (!ok)
            return false;
    }
    return true;
}
std::vector<ll> factorize(ll n) {//pollard rho部分，所有的质因数都会作为vector元素返回
    std::vector<ll> p;
    std::function<void(ll)> f = [&](ll n) {
        if (n <= 10000) {
            for (int i = 2; i * i <= n; ++i)
                for (; n % i == 0; n /= i)
                    p.push_back(i);
            if (n > 1)
                p.push_back(n);
            return;
        }
        if (isprime(n)) {
            p.push_back(n);
            return;
        }
        auto g = [&](ll x) {
            return (mul(x, x, n) + 1) % n;
        };
        ll x0 = 2;
        while (true) {
            ll x = x0;
            ll y = x0;
            ll d = 1;
            ll power = 1, lam = 0;
            ll v = 1;
            while (d == 1) {
                y = g(y);
                ++lam;
                v = mul(v, std::abs(x - y), n);
                if (lam % 127 == 0) {
                    d = std::__gcd(v, n);
                    v = 1;
                }
                if (power == lam) {
                    x = y;
                    power *= 2;
                    lam = 0;
                    d = std::__gcd(v, n);
                    v = 1;
                }
            }
            if (d != n) {
                f(d);
                f(n / d);
                return;
            }
            ++x0;
        }
    };
    f(n);
    std::sort(p.begin(), p.end());
    return p;
}

整除函数

定义

设\(x\in R\),定义[x]等于不超过x的最大整数，称[x]为取整函数或高斯函数，也称[x]为x的整数部分，{x}为x的小数部分

性质

  1. \(x=[x]+{x}\)

  2. \([x]\le x <[x]+1,x-1<[x]\le x,0\le{\{x\}}<1\)

  3. 设\(n\in Z,则[n+x]=n+[x]\)

  4. \([x]+[y]\le{[x+y]},\{x\}+\{y\}\ge\{x+y\}\)

  5. 带余除法：设\(a,b\in Z,b>0,则a=b[\frac{a}{b}]+b\{\frac{a}{b}\},0\le b\{\frac{a}{b}\}\le b-1\)

  6. 若\(a,b\in Z_+,则b的倍数中小于等于a的正整数个数为[\frac{a}{b}]\)

  7. \(若x\le y,则 [x]\le [y]\)

二元一次不定方程

定义

未知数必须受到某种限制(如整数，正整数，有理数等)的方程，称为不定方程

设$a,b,c\in Z,ab\neq 0,称式子 ax+by=c $为关于变量x，y的二元一次不定方程

定理

  1. 设二元一次不定方程\(ax+by=c(a,b,c\in Z,ab\neq 0)\)

    有一整数解\(x=x_0,y=y_0,且(a,b)=d,a=a_1d,b=b_1d\)则此不定方程的一切整数解可以表示为\(x=x_0-b_1t,y=y_0-a_1t,t\in Z\)

  2. 二元一次不定方程\(ax+by=c\)有整数解的充要条件是\((a,b)\mid c\)

  3. 裴蜀定理：二元一次不定方程\(ax+by=c\)一定存在x,y 使得\(ax+by=(a,b)\)

    可以拓展到多元一次不定方程：

    void solve(){
    int n;
    cin>>n;
    vector<int> a(n);
    in(a,n);//输入n个系数
    int sum=0;
    For(i,0,a.size()){
        sum=__gcd(sum,abs(a[i]));//gcd(0,a)=a
    }
    cout<<sum<<"\n";
}

扩展欧几里得(exGCD)

求解二元一次不定方程\(ax+by=(a,b)\)的一个特解

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (!b) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int g = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return g;
}

如何用扩展欧几里得算法求二元一次不定方程\(ax+by=c,gcd(a,b)\mid c\)的解

先用exgcd求出\(ax+by=(a,b)\)的一个特解\(x_0,y_0\)，然后然后给每个数乘上\(c/gcd(a,b)\)即可

通解便是\(x=x_0+\frac{b}{\gcd(a,b)}*k,y=y_0-\frac{a}{\gcd(a,b)}*k\)

使用扩展欧几里得求线性同余方程：设同余方程\(ax\equiv b(mod\space c)\)

根据同余定义，我们可以将同余方程化为二元一次不定方程\(ax-cy= b\)，这个时候就可以使用exgcd求出一组\((a,c)\)的特解了，再乘以\(b/\gcd(a,c)\)就是最后的答案\(ans\)，如果结果要求是正数，我们可以使用\((ans+\frac{c}{gcd(a,c)})\%\frac{c}{gcd(a,c)}\)的形式获得最小正解，解题时要使b为正数

eg：[P1516 青蛙的约会 - 洛谷](P1516 青蛙的约会 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn))

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (!b) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int g = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return g;
}
void solve(){
    int a,b,m,n,l;
    cin>>a>>b>>m>>n>>l;
    if(n-m<0)swap(a,b),swap(m,n);
    int x,y;
    int g=exgcd((n-m),l,x,y);
    if((a-b)%g){//如果最大公约数不是(a-b)的倍数一定无解
        cout<<"Impossible\n";
    }else{
        cout<<((x*((a-b)/g))%(l/g)+(l/g))%(l/g)<<"\n";//最小正整数解
    }
}

同余

定义

设\(m>0\)，如果\(a,b\)的差\(a-b\)能被m整除，即有q使得\(a-b=qm\) ，称a，b关于模m同余，记为\(a\equiv{b(mod\space m)}\)

\(eg:62\equiv{48(mod\space 7)}\)

性质

  1. 同余具有自反，对称，传递性,同余是等价关系

  2. 若\(a\equiv {b(mod \space m)},c\equiv{d(mod\space m)},则 a\pm{c}\equiv{b\pm{d}(mod\space m)}\)

  3. 若\(a\equiv {b(mod \space m)},c\equiv{d(mod\space m)},则 ac\equiv{bd(mod\space m)}\)，反之不然

  4. 若\(a\equiv {b(mod \space m)},且n\in N,则 a^n\equiv{b^n(mod\space m)}\)

  5. 若\(ac\equiv{bc(mod\space m)},且c\neq 0,则a\equiv{b(mod\space{\frac{m}{(c,m)}})}\)

  6. 若\(a\equiv b(mod\space m),m=qn,则a\equiv b(mod\space n)\)

  7. 若\(a\equiv b(mod\space m_i),i=1,2,3,...,n,则a\equiv b(mod\space [m_1,m_2,...m_n])\)

完全剩余系

如果a，b关于m同余，则a与b属于同一类，否则不属于同一类

这样可以得到m个类，即\(M_i=\{i+km|k\in Z\},i=0,1,2,...,m-1\)，称为模m的剩余类

从每个剩余数中各取一个数作为代表，这样得到的m个数成为模m的一个完全剩余系，也叫完系，比如\(\{1,2,...,m\}\)

当m为奇数时，\(\{0,\pm 1,\pm 2,...,\pm \frac{m-1}{2}\}\)是一个完系

当m为偶数时，\(\{0,\pm 1,\pm 2,...,\pm \frac{m}{2}\}\)是一个完系

当\(a_1,a_2,...a_m\)中每两个数互不同余，则它们毕分属于模m的m个剩余类，组成一个完系

如果\((n,m)=1\)，那么当\(a_1,a_2,...a_m\)是模m的完系时，\(na_1+k,na_2+k,...,na_m+k\)模m互不同余，因此他们也是模m的完系

缩系/既约剩余系

在完全剩余系中，与m互质的元素组成的子集

中国剩余定理(CRT)

求解同余方程的一个解，要求\(m_1,m_2,...m_n\)必须互质，如果不互质就需要使用扩展中国剩余定理exCRT

\(\begin{aligned}\left\{\begin{array}{lr}x\equiv{a_1(mod\space m_1)}\\x\equiv a_2(mod\space m_2)\\......\\x\equiv{a_n(mod\space m_n)}\end{array}\right.\end{aligned}\)

x的解公式：\(x= a_1*M_1*M^{-1}_1+a_2*M_2*M^{-1}_2+...+a_n*M_n*M^{-1}_n\)

其中，\(M_i=\frac{\prod\limits_{k=1}^nm_k}{m_i}\)，\(M^{-1}_i=inv(M_i)\)

excrt板子：

using ll = long long;
const int N = 1e5+10;
ll Ai[N], Mi[N];
int n; 
constexpr int qpow(int n, int k, int p) {
    int r = 1;
    for (; k; k >>= 1, n = n * n % p)
        if (k & 1) r = r * n % p;
    return r;
}
constexpr ll mul(ll a, ll b, ll p) {
    ll res = a * b - ll(1.L * a * b / p) * p;
    res %= p;
    if (res < 0) {
        res += p;
    }
    return res;
}
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    if (b == 0) { x = 1, y = 0; return a; }
    ll gcd = exgcd(b, a % b, x, y), tp = x;
    x = y, y = tp - a / b * y;
    return gcd;
}
ll excrt() {
    ll x, y, k;
    ll M = Mi[1], ans = Ai[1];
    for (int i = 2; i <= n; ++ i) {
        ll a = M, b = Mi[i], c = (Ai[i] - ans % b + b) % b;
        ll gcd = exgcd(a, b, x, y), bg = b / gcd;
        if (c % gcd != 0) return -1;
        x = mul(x, c / gcd, bg);
        ans += x * M;
        M *= bg;
        ans = (ans % M + M) % M;
    }
    return (ans % M + M) % M;
}

费马小定理

定义

多项式展开中 \((x+y)^p=x^p+\binom{p}{1}x^{p-1}y+\binom{p}{2}x^{p-2}y+...+y^p\)

其中\(\binom{p}{k}=\frac{p!}{k!(p-k)!}\)，当p为质数时，对于满足\(1\le k\le p-1\)的k，\(p\nmid k!(p-k)!\)

而\(p|k!(p-k)!\frac{p!}{k!(p-k)!}\),所以\(p|\binom{p}{k},k=1,2,...,p-1\)

从而有\((x+y)^p\equiv{x^p+y^p(mod\space p)}\)

令x=1，y=1,可得\(2^p\equiv{2(mod\space p)}\)，令x=2，y=1,可得\(3^p\equiv{3(mod\space p)}\)，......

因此对于所有\(a=1,2,...,p-1\),都有\(a^p\equiv a(mod \space p)\)

得到费马小定理：对于任意整数a和质数p，都有\(a^p\equiv a(mod \space p)\)

若\(\gcd(a,p)=1,则a^{p-1}\equiv 1(mod \space p)\)

其逆定理不成立，即使得\(a^n\equiv{a(mod\space n)}\)成立的n不一定是质数，能使其成立的合数n称为伪质数

341最小伪质数，1000以下还有561和645是伪质数

威尔逊定理

若p为质数，则\((p-1)!\equiv{-1(mod \space p)}\)

逆元

\(aa'\equiv{1(mod\space p)}\)，\(a'\)称为a的逆元

所以从费马小定理可以得出，\(a'\equiv a^{p-2}(mod \space p)\)

逆元可以在模意义下用乘法代替原数除法进行运算，即\(a/b\equiv a*inv\space b(mod \space p)\)

费马小定理求逆元代码

const int mod = 1e9+7;
int qpow(int a,int b){
    int res=1;
    while(b){
        if(b&1) res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
int inv(int x){return qpow(x,mod-2);}

但是费马小定理求逆元也有局限性，就是p必须为一个质数，除了费马小定理，我们也可以使用扩展欧几里得求逆元，它要求a与模数p互质即可，p不必须为质数

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (!b) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int g = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return g;
}
int inv(int a, int p){
    int x, y;
    exgcd(a, p, x, y);
    return (p + x % p) % p;
}

欧拉定理

费马定理阐述的是在质数模下，指数的同余性质，当模是合数时，就要用欧拉定理

欧拉函数

\(\phi(n)\)：1到n中与n互质的数的个数

互质：\(\gcd(a,b)=1\)

\(eg:\phi(8)=4 \space \{1,3,5,7\}\)

求单个数字的欧拉函数：

int phi(int x){
    int res = x;
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
        if (x % i == 0){
            res = res / i * (i - 1);
            while (x % i == 0) x /= i;
        }
    if (x > 1) res = res / x * (x - 1);
    return res;
}

引理

  1. 若\(n\)为一个质数，则\(\phi(n)=n-1\)

  2. 若\(n\)为某一个素数p的幂次\(p^a\)，则\(\phi(p^a)=(p-1)*p^{a-1}\)

  3. 若\(n\)为两个质数\(a,b\)的积，则\(\phi(a*b)=\phi(a)*\phi(b)\)

  4. 设\(n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}...p_n^{k_n}\) \(\{p_1<p_2<...<p_n\}\)，则\(\phi(n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_k})\)

欧拉定理

设n为正整数，考虑\(mod\space n\)的缩系，对于缩系中的任意一个元素a，有\(a^{\phi(n)}\equiv{1(mod\space n)}\)

也就是说，若a与n互质，则\(a^{\phi(n)}\equiv{1(mod\space n)}\)

扩展欧拉定理

\(x^n\equiv\begin{aligned}\left\{\begin{array}{lr}x^n(mod\space m)&x<\phi(m)\\x^{n\space mod \space\phi(m)+\phi(m)}(mod\space \phi (m))&x\geq\phi(m)\end{array}\right.\end{aligned}\)

此时x与m可以不互质

标签：return,space,数论,ll,笔记,int,ACM,equiv,mod
From： https://www.cnblogs.com/KrowFeather/p/18005761

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