数论基础（一）

数学符号

整除 / 同余理论常见符号

1. 整除符号：\(x \mid y\)，表示 \(x\) 整除 \(y\)。
2. 取模符号：\(x \bmod y\)，表示 \(x\) 对 \(y\) 取模。
3. 互质符号：\(x \perp y\)，表示 \(x\) 与 \(y\) 互质。
4. 同余：\(n \equiv k \pmod m\)，表示\(n\) 与 \(k\) 在模 \(m\) 意义下同余。
5. 最大公约数：\(\gcd(x, y)\)，也可记作 \((x, y)\)。
6. 最小公倍数：\(\operatorname{lcm}(x, y)\)，也可记作 \([x, y]\)。

数论函数常见符号

1. 求和符号：\(\sum\) 符号，表示满足特定条件的数的和。
2. 求积符号：\(\prod\) 符号，表示满足特定条件的数的积。

逻辑符号

1. 合取：\(\land\)，\(p \land q\) 表示 \(p\) 与 \(q\)。
2. 析取：\(\lor\)，\(p \lor q\) 表示 \(p\) 或 \(q\)。
3. 否定：\(\lnot\)，\(\lnot p\) 表示 \(p\) 的否定。
4. 蕴含：\(\implies\)，\(p \implies q\) 表示 \(p\) 蕴含 \(q\)，即若 \(p\) 为真，则 \(q\) 为真。
5. 等价：\(\iff\)，\(p \iff q\) 表示 \(p\) 与 \(q\) 等价。
6. 存在：\(\exists\)；任意：\(\forall\)。

集合符号

1. 属于：\(\in\)，\(x \in A\) 表示 \(x\) 为集合 \(A\) 中的元素。
2. 不属于：\(\notin\)。
3. 空集：\(\varnothing\)。
4. \(\{x_1, x_2, \dots, x_n \}\)，表示含元素 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 的集合。
5. \(\{x \in A ~\vert~ p(x) \}\)，表示 \(A\) 中使命题 \(p(x)\) 为真的所有元素组成的集合。
6. 包含：\(B \subseteq A\)，表示 \(B\) 为 \(A\) 的子集。
7. 真包含：\(B \subset A\)，表示 \(B\) 为 \(A\) 的真子集。
8. 并集：\(A \cup B\)，表示 \(A\) 与 \(B\) 的并集。
9. 交集：\(A \cap B\)，表示 \(A\) 与 \(B\) 的交集。
10. 多个集合的并集：\(\displaystyle \bigcup \limits_{i = 1} ^ n A_i\) 表示集合 \(A_1, A_2, \dots, A_n\) 的并集。
11. 多个集合的交集：\(\displaystyle \bigcap \limits_{i = 1} ^ n A_i\) 表示集合 \(A_1, A_2, \dots, A_n\) 的交集。

标准数集和区间符号

1. 自然数集：\(\mathbb{N}\)，表示所有自然数构成的集合，使用 \(\mathbb{N^+}\) 来表示所有正整数。
2. 整数集：\(\mathbb{Z}\)，表示所有整数构成的集合。
3. 有理数集：\(\mathbb{Q}\)，表示所有有理数构成的集合。
4. 实数集：\(\mathbb{R}\)，表示所有实数构成的集合。
5. 复数集：\(\mathbb{C}\)，表示所有复数构成的集合。
6. （正）素数集：\(\mathbb{P}\)，表示所有（正）素数构成的集合。

关系符号

1. 正比：\(a \propto b\)，表示 \(a\) 与 \(b\) 成正比。
2. 远大于：\(a \gg b\)，表示 \(a\) 远大于 \(b\)。
3. 远小于：\(a \ll b\)，表示 \(a\) 远小于 \(b\)。
4. 无限大：\(\infty\)。
5. 趋近：\(x \to a\)，表示 \(x\) 趋近于 \(a\)，常用于极限表达式中。

其他常见符号

1. 阶乘符号：\(!\)，\(n!\) 表示 \(1 \times 2 \times 3 \times \dotsb \times n\)。特别的，\(0! = 1\)。
2. 向下取整符号：\(\lfloor x \rfloor\)，表示不超过 \(x\) 的最大整数。
3. 向上取整符号：\(\lceil x \rceil\)，表示大于等于 \(x\) 的最大整数。
4. 组合数：\(\binom{x}{y}\)，表示从 \(x\) 个数中选出 \(y\) 个数的方案数。
5. 第一类斯特林数：\(x \brack y\)；第二类斯特林数：\(x \brace y\)。

整除

设 \(a, b \in \mathbb{Z}, a \neq 0\)，\(\exists q \in \mathbb{Z}\)，使得 \(b = aq\)，那么 \(b\) 可被 \(a\) 整除，记作 \(a \mid b\)。

整除的性质：

• \(a \mid b \iff -a \mid b \iff a \mid -1 \iff \lvert a\rvert \mid \lvert b\rvert\)
• \(a \mid b \land b \mid c \implies a \mid c\)
• \(a \mid b \land b \mid a \implies b = \pm a\)
• 设 \(m\) 不为 \(0\)，则 \(a \mid b \iff ma \mid mb\)
• 设 \(b\) 不为 \(0\)，则 \(a \mid b \implies \lvert a\rvert \le \lvert b\rvert\)

因数（约数）：若 \(a \mid b\)，则 \(b\) 为 \(a\) 的倍数， \(a\) 为 \(b\) 的因数。
平凡因数：对于整数 \(b \neq 0\)，\(\pm 1\)，\(\pm b\) 称为 \(b\) 的平凡因数。
素数（质数）：只有平凡因数作为因数的数称为素数。
通常而言，约数指的是正约数。