直线系方程
定义
直线系是具有某种共同性质的所有直线的集合。
种类
平行
与直线 \(l:Ax+By+C=0\) 平行的直线系方程为
\[Ax+By+m=0(m\ne C) \]垂直
与直线 \(l:Ax+By+C=0\) 垂直的直线系方程为
\[Bx-Ay+m=0 \]过定点
过定点 \(P(x_0,y_0)\) 的直线系方程为
\[A(x-x_0)+B(y-y_0)=0 \]这个有必要浅浅推导一下。
\[Ax+By+C=0 \\ y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B} \\ y-y_0=-\frac{A}{B}(x-x_0) \\ A(x-x_0)+B(y-y_0)=0 \\ \]两直线相交
若直线 \(l_1:A_1x+B_1y+C_1=0\) 与直线 \(l_2:A_2x+B_2y+C_2=0\) 相交且交点为 \(P(x_0,y_0)\)，则过两直线交点的直线系方程为：
\[A_1x+B_1y+C_1+\lambda(A_2x+B_2y+C_2)=0 \]证明：
设 \(P(x_0,y_0)\) 是 \(A_1x+B_1y+C_1=0\) 与 \(A_2x+B_2y+C_2=0\) 的交点。
将 \(P(x_0,y_0)\) 代入可得
\[\begin{cases} A_1x_0+B_1y_0+C_1=0 \\ A_2x_0+B_2y_0+C_2=0 \\ \end{cases} \]所以 \(A_1x_0+B_1y_0+C_1+\lambda(A_2x_0+B_2y_0+C_2)=0\)。
即直线 \(A_1x+B_1y+C_1+\lambda(A_2x+B_2y+C_2)=0\) 经过点 \(P(x_0,y_0)\)。
证毕。
应用
例1 求证：无论 \(m\) 取何值时，直线 \((m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0\) 恒过某一定点，并求出定点的坐标。
解法1：将方程作简单变换可得
\[-x-3y+11+\lambda(x-y-1)=0 \]要使方程组有解，显然有
\[\begin{cases} -x-3y+11=0 \\ x-y-1=0 \\ \end{cases} \]解得 \(\begin{cases}x=\frac{7}{2} \\ y=\frac{5}{2}\end{cases}\)，故该直线恒过定点 \((\frac{7}{2},\frac{5}{2})\)。
解法2：令 \(m_1=1\)、\(m_2=-3\)，代入方程可得
\[\begin{cases} -4y+10=0 \\ -4x+14=0 \\ \end{cases} \]解得 \(\begin{cases}x=\frac{7}{2} \\ y=\frac{5}{2}\end{cases}\)，故该直线恒过定点 \((\frac{7}{2},\frac{5}{2})\)。
小结：若证明一条直线恒过某一定点或求一条直线必过定点通常有以下两种方法：
- 分离系数法。即将原方程化为 \(f(x,y)+\lambda g(x,y)=0\) 的形式，再证明此式子成立与 \(\lambda\) 的取值无关，从而求出定点坐标。
- 从特殊推广到一般。先随意代入两条直线求出交点坐标，再证明任意直线恒过此交点。
例2 求过两条直线 \(x-2y+4=0\) 和 \(x+y-2=0\) 的交点，且满足下列条件的直线方程。
- 过定点 \((2,1)\)；
- 和直线 \(3x-4y+5=0\) 垂直。
解：(1)设经过两条直线的交点的直线方程为
\[x-2y+4+\lambda(x+y-2)=0 \]将定点 \((2,1)\) 代入可得
\[2-2+4+\lambda(2+1-2)=0 \\ \lambda=-4 \]所以直线方程为
\[3x+2y+4=0 \](2)由 1 可知
\[x-2y+4+\lambda(x+y-2)=0 \]将方程作简单变换可得
\[(1+\lambda)x+(\lambda-2)y+(4-2\lambda)=0 \]解得
\[k=-\frac{1+\lambda}{\lambda-2} \]易知 \(k_l=\frac{3}{4}\)，则要使两直线垂直，只要使
\[-\frac{1+\lambda}{\lambda-2}\times\frac{3}{4}=-1 \]解得 \(\lambda=11\)，故所求直线方程为
\[4x+3y-6=0 \]小结：本题可以考虑先用直线系方程表示所求直线方程，再依据已知条件列式子，求出待定系数，从而最终求得问题的解。
例3 已知方程 \(3x^2+2xy-y^2+7x-5y+k=0\)，问何时该方程表示两条直线？
解：将方程作简单变换可得
\[(3x-y)(x+y)+(7x-5y)+k=0 \]设 \((3x-y+m)(x+y+n)=0\)，则
\[(3x-y)(x+y)+x(m+3n)+y(m-n)+mn=0 \]所以
\[\begin{cases} m+3n=7 \\ m-n=-5 \\ mn=k \\ \end{cases} \]解得
\[\begin{cases} m=-2 \\ n=3 \\ k=mn=-6 \\ \end{cases} \]即 \(k=-6\) 时表示两条直线。
小结：这里显然有一个比较重要的结论：两条直线方程相乘可以构成一个二元二次方程，设
\[l_1:A_1x+B_1y+C_1=0 \\ l_2:A_2x+B_2y+C_2=0 \\ \]则有
\[l_1l_2:A_1A_2x^2+(A_1B_2+A_2B_1)xy+B_1B_2y^2+(A_1C_2+A_2C_1)x+(B_1C_2+B_2C_1)y+C_1C_2=0 \]也就是说，如果反过来，已知一个二元二次方程是由两条直线方程相乘所得，那么我们也可以先设出这两条直线的方程，再利用待定系数法求解。
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