标签：直线 方程 倾斜角 frac 截距 斜率

直线和圆的方程

直线的倾斜角与斜率

倾斜角与斜率

在平面直角坐标系中任意画几条直线，可以看出来这些直线相对于 \(x\) 轴的倾斜程度不同，即每一条直线与 \(x\) 轴的夹角都不同。显然可以通过这个角来表示直线的方向。

当平面直角坐标系中任意一直线 \(l\) 与 \(x\) 轴相交时，我们以 \(x\) 轴为基准，\(x\) 轴正向与直线 \(l\) 向上的方向之间所成的角 \(\alpha\) 叫做直线 \(l\) 的倾斜角。其中当直线 \(l\) 与 \(x\) 轴平行或者重合时规定 \(\alpha=0\)。因此倾斜角取值范围为：

\[0\le\alpha<\frac{\pi}{2} \]

由初中知识可知（其实就是懒得凸）斜率刻画了一条直线的倾斜程度，而倾斜角和斜率之间也存在一些关系。令 \(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，则易知：

\[\tan\alpha=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} \]

高中数学中将斜率定义为一条直线倾斜角 \(\alpha\) 的正切值。即：

\[k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} \]

倾斜角与斜率的关系：

\[k=\tan\alpha \]

两条直线平行和垂直的判定

\[l_1//l_2\Leftrightarrow k_1=k_2,b_1\ne b_2 \\ l_1\perp l_2\Leftrightarrow k_1k_2=-1 \\ \]

直线的方程

直线的点斜式方程

由斜率公式简单变形可得：

\[k=\frac{y-y_0}{x-x_0} \\ (y-y_0)=k(x-x_0) \\ \]

显然该方程由直线上的一点以及该直线的斜率确定。

直线的斜截式方程

下面浅浅看一下点斜式的一种特殊情况：令直线上一点 \(P(0,b)\)，则将原公式简单变形可得：

\[y-b=k(x-0) \\ y=kx+b \\ \]

我们称之为直线的斜截式方程。

在该方程中 \(k\) 和 \(b\) 有明显的几何意义：\(k\) 表示该直线的斜率，\(b\) 表示直线在 \(y\) 轴上的截距。

补充：对于直线的斜截式方程可以运用一些性质（从上面直接贺下来的）：

\[l_1//l_2\Leftrightarrow k_1=k_2,b_1\ne b_2 \\l_1\perp l_2\Leftrightarrow k_1k_2=-1 \\ \]

直线的两点式方程

令经过 \(P(x_1, y_1)\)，\(Q(x_2,y_2)\) 两点的直线 \(l\)（其中 \(x_1\ne x_2\)）的斜率 \(k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)，取 \(P\) 点易得直线点斜式方程：

\[y-y_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}(x-x_1) \]

当 \(y_1\ne y_2\) 时，上式可变换为：

\[\frac{y-y_1}{y_1-y_2}=\frac{x-x_1}{x_1-x_2} \]

这就是直线的两点式方程。

直线的截距式方程

令 \(A(a,0)\)，\(B(0,b)\) 为直线 \(l\) 上两点，代入两点式可得：

\[\frac{y-0}{b-0}=\frac{x-a}{0-a} \]

即：

\[\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 \]

我们称 \(a\) 为直线 \(l\) 在 \(x\) 轴上的截距。相应地，\(b\) 为直线 \(l\) 在 \(y\) 轴上的截距。该方程由直线 \(l\) 在两条坐标轴上的截距确定。我们称之为直线的截距式方程。

直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都有明确的几何意义，都涉及确定直线位置的两个基本要素：两个点或一点和斜率。这些直线的方程，形式不同但本质一致，都是对直线的定量刻画。在对直线的定量刻画中，斜率处于核心地位.点斜式方程是其他所有形式的方程的基础，其他所有形式的方程都是点斜式方程在一定条件下的变式。

直线的一般式方程

首先来观察一下下式：

\[(y-y_0)=k(x-x_0) \]

通过观察不难看出，这就是之前提到过的直线的点斜式方程。这个方程可以认为是关于 \(x\)，\(y\) 的二元一次方程。

考虑一种特殊情况。当斜率 \(k\) 不存在时，直线方程为：

\[x-x_0=0 \]

显然此时 \(y\) 的系数为 \(0\)。

不难发现，任意一条直线都可以用一个二元一次方程来表示。即：

\[Ax+By+z=0 \]

简单推导验证一下。

当 \(B\ne 0\) 时，可以变形为：

\[y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B} \]

它表示过点 \((0,-\frac{C}{B})\) 且斜率为 \(-\frac{A}{B}\) 的直线。

当 \(B=0\) 时，\(A\ne 0\)，此时可以变形为：

\[x=-\frac{C}{A} \]

它表示过点 \((-\frac{C}{A},0)\) 且垂直于 \(x\) 轴的直线。

综上所述，关于 \(x\)，\(y\) 的二元一次方程都表示一条直线。我们称之为直线的一般式方程。即：

\[Ax+By+z=0 \]

直线的参数方程

设直线 \(l\) 过点 \(P(x,y)\)，该直线的一个方向向量 \(\vec{a}=(m,n)\)。令 \(Q(x',y')\) 为直线上任意一点，则 \(\vec{PQ}\) 与 \(\vec{a}\) 共线。则存在实数 \(\lambda\) 使得 \(\vec{PQ}=\lambda\vec{a}\)，所以：

\[\begin{cases} x=x_0+m\lambda \\ y=y_0+n\lambda \\ \end{cases} \]

只能写这么多了，显然还没完全看懂。

深深感到自己的弱小……

直线的交点坐标与距离公式

交点坐标

令 \(l_1:A_1x+B_1y+C_1=0\)，\(l_2:A_2x+B_2y+C_2=0\)，要求这两条直线交点，只要将这两条直线的方程联立起来求解即可。

\[\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2=0 \\ \end{cases} \]

分析：解直线 \(l_1\)，\(l_2\) 的方程组成的方程组，若方程组有唯一解，\(l_1\) 与 \(l_2\) 相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则 \(l_1//l_2\)；若方程组中的两个方程可化成同一个方程，则 \(l_1\) 与 \(l_2\) 重合。

距离公式

两点间的距离公式

\[d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \]

一个结论（还是从书上贺下来的）：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍。

点到直线的距离公式

\[d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \]

证明可以看书，这边懒得手打了。

两条平行直线间的距离

可以取一点转化成点到直线的距离来凸。

圆的方程

标准方程

圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合。显然只要确定圆心和半径就可以确定一个圆。

在平面直角坐标系中，设 \(\odot A\) 的圆心 \(A\) 坐标 \((a,b)\)，半径为 \(r\)，\(P(x,y)\) 为 \(\odot A\) 上任意一点，则 \(\odot A\) 就是以下点的集合：

\[M=\left\{M||MA|=r\right\} \]

由两点距离公式可得 \(M\) 满足条件为：

\[\sqrt{(x-a)^2+（y-b)^2}=r \]

两边平方，得：

\[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \]

该方程即为 圆心为 \(A(x,y)\)，半径为 \(r\) 的圆的标准方程。

一般方程

\[x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 \]

还是浅浅验证一下。

对原式配方得：

\[(x+\frac{D}{2})^2+(y+\frac{E}{2})^2=\frac{D^2+E^2-4F}{4} \]

当 \(D^2+E^2-4F>0\) 时，显然方程表示以 \((-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})\) 为圆心，半径为 \(\frac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F}\) 的圆。

当 \(D^2+E^2-4F=0\) 时，显然方程表示一个点 \((-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})\)。

当 \(D^2+E^2-4F<0\) 时，显然无解。

综上所述，当 \(D^2+E^2-4F>0\) 时方程表示一个圆。

直线与圆、圆与圆的位置

直线与圆的位置关系

联立直线和圆的方程判一下有没有交点。

圆与圆的位置关系

还是联立方程判一下。

总结

没有总结，开摆。

依然深深感到自己的弱小。

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