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用零点存在定理看二次方程根的分布

时间:2023-12-02 17:35:09浏览次数:37  
标签:分析 函数 实数 定理 二次方程 零点 array 取值

前言

以前写过一篇关于二次方程根的分布问题的博文,感觉思路混乱,也不想再修改,故重新开一篇博文探讨这个问题,初次尝试用零点存在定理来分析二次方程根的分布,自编题目,有待商榷,希望多提宝贵意见。

典例分析

为了降低思维的难度,我们首先看这个比较特殊的例子,

已知函数 \(f(x)=-x^2+2x+1-m\),求解以下问题:

分析:为了便于利用零点存在定理解决以下问题,我们先分析函数“形”上具有的特点,图象是开口向下的抛物线,具有对称性,对称轴为 \(x\)\(=\)\(1\),有最大值为\(f(x)_{\max}\)\(=\)\(f(1)\)\(<\)\(0\),同时还有两个容易被人忽略的隐含信息,即 \(f(-\infty)\)\(<\)\(0\),\(f(+\infty)\)\(<\)\(0\),这样的写法虽然有些欠妥当,但是在利用零点存在定理时非常有用,能帮助我们快速思考,解决问题。

(01) . 若函数有两个零点,求实数 \(m\) 的取值范围;

分析:只需要函数对称轴处的函数值大于零即可,即\(f(1)>0\)具体解释,\(f(-\infty)\)\(<\)\(0\),且\(f(1)>0\),故在 \((-\infty,1)\) 内必有一个变号零点,同理,\(f(+\infty)\)\(<\)\(0\),且\(f(1)>0\),故在 \((1,+\infty)\) 内必有一个变号零点,在初中我们常用的求解思维是\(\Delta>0\) . .

(02) . 若函数有一个零点,求实数 \(m\) 的取值范围;

分析:只需要函数对称轴处的函数值等于零即可,即\(f(1)=0\)具体解释,\(f(-\infty)\)\(<\)\(0\),且\(f(1)=0\),且 \(f(+\infty)\)\(<\)\(0\),故在 \((-\infty,+\infty)\) 内必有一个不变号零点\(x=1\),在初中我们常用的求解思维是\(\Delta=0\) . .

(03) . 若函数没有零点,求实数 \(m\) 的取值范围;

分析:只需要函数对称轴处的函数值小于零即可,即\(f(1)<0\)具体解释,\(f(x)_{\max}=f(1)<0\),故方程 \(f(x)=0\) 无解,在初中我们常用的求解思维是\(\Delta<0\) . .

(04) . 若函数恰有一个零点为\(x=0\),求实数 \(m\) 的取值范围;

分析:\(f(0)=0\),

(05) . 若方程 \(f(x)=0\)有两个正数解,求实数 \(m\) 的取值范围;

分析:\(\left\{\begin{array}{l}{f(0)<0}\\{f(1)>0}\end{array}\right.\quad\)

(06) . 若方程 \(f(x)=0\)有两个负数解,求实数 \(m\) 的取值范围;

仿上分析,\(m\in\varnothing\);对称轴在要在 \(y\) 轴左侧,此题目不可能

分析:\(\left\{\begin{array}{l}{f(0)<0}\\{f(?)>0}\end{array}\right.\quad\)

(07) . 若方程 \(f(x)=0\)有两个解,一正一负,即一个大于\(0\),一个小于\(0\),求实数 \(m\) 的取值范围;

分析:\(f(0)>0\),

(08) . 若方程 \(f(x)=0\)有两个解,一个大于\(2\),一个小于\(2\),求实数 \(m\) 的取值范围;

分析:仿上 \(f(2)>0\),

(09) . 若方程 \(f(x)=0\)有两个解,一正一零,求实数 \(m\) 的取值范围;

分析:\(\left\{\begin{array}{l}{f(0)=0}\\{f(1)>0}\end{array}\right.\quad\)

(10) . 若方程 \(f(x)=0\)有两个解,一负一零,求实数 \(m\) 的取值范围;

仿上分析,\(m\in\varnothing\);

(11) . 若方程 \(f(x)=0\)有两个解,都在 \(2\) 的左侧,求实数 \(m\) 的取值范围;

分析:\(\left\{\begin{array}{l}{f(1)>0}\\{f(2)<0}\end{array}\right.\quad\)

(12) . 若方程 \(f(x)=0\)有两个解,都在 \(2\) 的右侧,求实数 \(m\) 的取值范围;

仿上分析,\(m\in\varnothing\);

(13) . 若方程 \(f(x)=0\)有两个解,都在 \((0,3)\) 内,求实数 \(m\) 的取值范围;

分析:\(\left\{\begin{array}{l}{f(0)<0}\\{f(1)>0}\\{f(3)<0}\end{array}\right.\quad\)

(14) . 若方程 \(f(x)=0\)有两个解,一个在 \((0,1)\) 内,另一个在 \((2,3)\) 内,求实数 \(m\) 的取值范围;

分析:\(\left\{\begin{array}{l}{f(0)<0}\\{f(1)>0}\\{f(2)>0}\\{f(3)<0}\end{array}\right.\quad\)

(15) . 若方程 \(f(x)=0\)有两个解,一个在 \((0,1)\) 内,另一个在 \((1,3)\) 内,求实数 \(m\) 的取值范围;

分析:\(\left\{\begin{array}{l}{f(0)<0}\\{f(1)>0}\\{f(3)<0}\end{array}\right.\quad\)

抽象概括

对于一般的二次函数 \(f(x)=ax^2+bx+c(a\neq 0)\) 的零点问题,需要考虑更多因素,比如开口方向,对称轴,端点值的正负等等。

有空再编辑。

标签:分析,函数,实数,定理,二次方程,零点,array,取值
From: https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/17871686.html

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