前言
以前写过一篇关于二次方程根的分布问题的博文,感觉思路混乱,也不想再修改,故重新开一篇博文探讨这个问题,初次尝试用零点存在定理来分析二次方程根的分布,自编题目,有待商榷,希望多提宝贵意见。
典例分析
为了降低思维的难度,我们首先看这个比较特殊的例子,
分析:为了便于利用零点存在定理解决以下问题,我们先分析函数“形”上具有的特点,图象是开口向下的抛物线,具有对称性,对称轴为 \(x\)\(=\)\(1\),有最大值为\(f(x)_{\max}\)\(=\)\(f(1)\)\(<\)\(0\),同时还有两个容易被人忽略的隐含信息,即 \(f(-\infty)\)\(<\)\(0\),\(f(+\infty)\)\(<\)\(0\),这样的写法虽然有些欠妥当,但是在利用零点存在定理时非常有用,能帮助我们快速思考,解决问题。
(01) . 若函数有两个零点,求实数 \(m\) 的取值范围;
分析:只需要函数对称轴处的函数值大于零即可,即\(f(1)>0\)具体解释,\(f(-\infty)\)\(<\)\(0\),且\(f(1)>0\),故在 \((-\infty,1)\) 内必有一个变号零点,同理,\(f(+\infty)\)\(<\)\(0\),且\(f(1)>0\),故在 \((1,+\infty)\) 内必有一个变号零点,在初中我们常用的求解思维是\(\Delta>0\) . .
(02) . 若函数有一个零点,求实数 \(m\) 的取值范围;
分析:只需要函数对称轴处的函数值等于零即可,即\(f(1)=0\)具体解释,\(f(-\infty)\)\(<\)\(0\),且\(f(1)=0\),且 \(f(+\infty)\)\(<\)\(0\),故在 \((-\infty,+\infty)\) 内必有一个不变号零点\(x=1\),在初中我们常用的求解思维是\(\Delta=0\) . .
(03) . 若函数没有零点,求实数 \(m\) 的取值范围;
分析:只需要函数对称轴处的函数值小于零即可,即\(f(1)<0\)具体解释,\(f(x)_{\max}=f(1)<0\),故方程 \(f(x)=0\) 无解,在初中我们常用的求解思维是\(\Delta<0\) . .
(04) . 若函数恰有一个零点为\(x=0\),求实数 \(m\) 的取值范围;
分析:\(f(0)=0\),
(05) . 若方程 \(f(x)=0\)有两个正数解,求实数 \(m\) 的取值范围;
分析:\(\left\{\begin{array}{l}{f(0)<0}\\{f(1)>0}\end{array}\right.\quad\)
(06) . 若方程 \(f(x)=0\)有两个负数解,求实数 \(m\) 的取值范围;
仿上分析,\(m\in\varnothing\);对称轴在要在 \(y\) 轴左侧,此题目不可能
分析:\(\left\{\begin{array}{l}{f(0)<0}\\{f(?)>0}\end{array}\right.\quad\)
(07) . 若方程 \(f(x)=0\)有两个解,一正一负,即一个大于\(0\),一个小于\(0\),求实数 \(m\) 的取值范围;
分析:\(f(0)>0\),
(08) . 若方程 \(f(x)=0\)有两个解,一个大于\(2\),一个小于\(2\),求实数 \(m\) 的取值范围;
分析:仿上 \(f(2)>0\),
(09) . 若方程 \(f(x)=0\)有两个解,一正一零,求实数 \(m\) 的取值范围;
分析:\(\left\{\begin{array}{l}{f(0)=0}\\{f(1)>0}\end{array}\right.\quad\)
(10) . 若方程 \(f(x)=0\)有两个解,一负一零,求实数 \(m\) 的取值范围;
仿上分析,\(m\in\varnothing\);
(11) . 若方程 \(f(x)=0\)有两个解,都在 \(2\) 的左侧,求实数 \(m\) 的取值范围;
分析:\(\left\{\begin{array}{l}{f(1)>0}\\{f(2)<0}\end{array}\right.\quad\)
(12) . 若方程 \(f(x)=0\)有两个解,都在 \(2\) 的右侧,求实数 \(m\) 的取值范围;
仿上分析,\(m\in\varnothing\);
(13) . 若方程 \(f(x)=0\)有两个解,都在 \((0,3)\) 内,求实数 \(m\) 的取值范围;
分析:\(\left\{\begin{array}{l}{f(0)<0}\\{f(1)>0}\\{f(3)<0}\end{array}\right.\quad\)
(14) . 若方程 \(f(x)=0\)有两个解,一个在 \((0,1)\) 内,另一个在 \((2,3)\) 内,求实数 \(m\) 的取值范围;
分析:\(\left\{\begin{array}{l}{f(0)<0}\\{f(1)>0}\\{f(2)>0}\\{f(3)<0}\end{array}\right.\quad\)
(15) . 若方程 \(f(x)=0\)有两个解,一个在 \((0,1)\) 内,另一个在 \((1,3)\) 内,求实数 \(m\) 的取值范围;
分析:\(\left\{\begin{array}{l}{f(0)<0}\\{f(1)>0}\\{f(3)<0}\end{array}\right.\quad\)
抽象概括
对于一般的二次函数 \(f(x)=ax^2+bx+c(a\neq 0)\) 的零点问题,需要考虑更多因素,比如开口方向,对称轴,端点值的正负等等。
有空再编辑。
标签:分析,函数,实数,定理,二次方程,零点,array,取值 From: https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/17871686.html