对于一个信号,我们想对其进行采样转化成数字信号,显然,当我们采样频率越改,我们所能保留的信息越多,但是当高采样频率对我们的采样设备要求也高,我们希望找到采样频率和模拟信号频率之间的一些关系
有模拟信号\(x_{a}(t)\),我们对其进行理想采样,即采样信号\(\hat{x}_{a}{(t) =}x_{a}(t)\sum\limits \delta(t-nT)\)
两边同时进行傅里叶变换有:
\[\hat{X}_{a}(\omega) = \frac{1}{2\pi}[ X(\omega)* \Delta(\omega) ] \]其中\(\Delta (\omega)\)是周期函数\(\delta_{t}(t)\)的傅里叶变换
对于周期函数\(\delta_{T}(t)\),有傅里叶级数:
\[\delta_{T}(t) = \sum\limits_{n=-\infty }^{\infty} c_{n}e^{jn\Omega_{s}t} \]\(\Omega_{s}\)是采样角频率,其中的\(c_{n}\)有:
\[\begin{aligned} c_{n} &= \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2} }^ {\frac{T}{2}}\delta_{T}(t)e^{-j\Omega_{s}t}dt\\ &=\frac{1}{T} \end{aligned} \]带入上式有:
\[\Delta(w) = \mathcal{F}\left[\frac{1}{T}\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}e^{jn\Omega_{s}t}\right]= \frac{1}{T}\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}2\pi \delta(\omega-k\Omega_{s} ) \]再带入上式进行卷积运算有:
\[\hat{X}_{a}(\omega) = \frac{1}{T}\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}X_{a}(j\theta)\cdot \delta(j(\omega - \Omega_s)-j\theta)d\theta = \frac{1}{T}\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}X_{a}(j\omega - jk\Omega_{s}) \]可以看到,在采样周期为T的情况下,采样频率是原频率的一个周期延拓。
可以假设如图,原序列最高频率为 \(\Omega_h\),则要想周期延拓后频率不发生交集,则必须有:
或者:
\[2f_{s}<f_{h} \]至于复原,可以乘以一个适当的傅域“礼帽序列”
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