威尔逊定理

定义

威尔逊定理：对于素数 \(p\) 有 \((p-1)!\equiv -1\pmod p\)。

证明

我们知道在模奇素数 \(p\) 意义下，\(1,2,\dots ,p-1\) 都存在逆元且唯一，那么只需要将一个数与其逆元配对发现其乘积均为（同余意义下）\(1\)，但前提是这个数的逆元不等于自身。那么很显然 \((p-1)!\bmod p\) 就是逆元等于其自身的数的乘积，这两个数为 \(\pm 1\)。在 \(p\) 为 \(2\) 时单独讨论即可。

对于整数 \(n\)，令 \((n!)_p\) 表示所有小于等于 \(n\) 但不能被 \(p\) 整除的正整数的乘积，即 \((n!)_p=n!/(\lfloor n/p\rfloor !p^{\lfloor n/p\rfloor})\)。

威尔逊定理指出 \((p!)_p=(p-1)!\equiv -1\pmod p\) 且可被推广至模素数 \(p\) 的幂次。