【线性代数】向量组/矩阵的秩、正交规范化/正交矩阵

1.向量组的秩

极大线性无关组的定义：

注意：
同一个向量组可能有很多不同的极大线性无关组，但是这些无关组的向量个数一定是一样的。
如果一个向量组只包含一个零向量，则它没有极大线性无关组
若向量组本身就线性无关，则其极大线性无关组就是其本身。

向量组的秩的定义：
向量组的极大线性无关组的向量个数即为向量组的秩，记为r

等价向量组的定义：

这里有一个小细节，对于向量组内的向量，它是一定能由这个向量组线性表出的，只需要把自己的系数设为1，其他所有向量的系数都设为0即可。
关于等价向量组：
向量组和其极大线性无关组是等价向量组
一个向量组的各个极大线性无关组之间是等价的
关于这两个定理：
向量组A能由B线性表出，则A的秩≤B的秩
A能由B线性表出其实可以用A的极大线性无关组能由B的极大组线性表出这个表述来代替，容易得出，当A的秩大于B的秩时，相当于用低纬度的符号系统表示高纬度，这样就总会有未知数无法消除。
这也跟前面讨论过的一个定理对应：
若向量组B的所有向量均可由向量组A线性表出，则B线性无关，且B的向量数量一定≤A
若向量组B的所有向量均可由向量组A线性表出，则B的向量个数大于A，则向量组B线性相关。