众所周知，数是可以进行加减乘除的，那矩阵为啥不可以呢？

假设现在我们有两个矩阵 \(A\) 和 \(B\)，矩阵大小分别为 \(n \times m\) 和 \(x \times y\)，矩阵元素对 \(mod\) 取模。

基本运算

矩阵加法

令 \(A + B = C\)。

要求：\(n = x\) 并且 \(m = y\)。

其实很简单，就是一一对应着加就行，即对于 \(1\leqslant i \leqslant n, 1\leqslant j \leqslant m\)，\(C_{i, j} = A_{i, j} + B_{i, j}\)。

所以 \(C\) 的大小为 \(n \times m\)，矩阵减法同。

性质

• 交换律：明显满足，即 \(A + B = B + A\)。
• 结合律：明显满足，即 \(A + B + C = A + (B + C)\)。

矩阵乘法

令 \(A \times B = C\)。

要求：\(m = x\)。

性质

• 交换律：不满足！
  • 若 \(n = y\)，交换以后还能乘法，但矩阵大小会变为 \(m \times x\)。
  • 当然也有可能 \(n \neq y\)，这样交换以后连矩乘的基本要求都无法满足。
• 结合律：满足，设还有一个矩阵 \(C\)，大小为 \(y \times z\)，\(A \times B \times C = D\)，则 \(D\) 大小为 \(n \times z\)，而 \(A \times (B \times C) = A \times E(\texttt{大小为} x \times z) = D\)。
• 分配律：明显满足，设还有一个矩阵 \(C\)，大小为 \(y \times z\)，即 \(A \times (B + C) = A \times B + A \times C\)。

矩阵除法

令 \(\frac{A}{B} = C\)。

要求：同矩阵乘法。

由于浮点数不可以取模，数里面除法取模等于乘上除数的逆，所以矩阵除法同矩阵除法，不过是把 \(B_{i, j}\) 变成 \(B_{i, j}\) 在模 \(mod\) 意义下的逆。