此视频要通过线性变换来了解逆矩阵、列空间、秩和零空间的概念。
线性代数一个作用是解方程组 这是线性方程组+
事实上,你可以将所有的方程合并为一个向量方程。这个方程有一个包含所有常数系数的矩阵。
这不仅仅是将方程组写进一行的书写技巧。还阐释了这个问题中优美的几何直观部分。
矩阵A代表一种线性变换,所以求解Ax=v意味着我们去寻找一个向量x,使得它在变换后与v重合。
思考下这一过程,你完全可以只考虑对空间变形,以及变换前后向量的重叠。
先举个简单的例子,你有两个方程和两个未知量构成的方程组,
我们将它们分为两种情况,A的行列式为0,或A的行列式不为0
首先来看看最可能的情况,即A的行列式不为0.
此时空间并未呗挤压为0面积。
在这种情况下,有且仅有一个向量与v重合。
并且你可以通过逆向进行变换来找到这个向量。如同倒带一样,通过跟踪v的动向,你就能找到满足Ax=v的向量x 。当你逆向进行变换时,它实际上对应了另一个线性变换,
通常被称为A的逆
比如说,如果A是逆时针旋转90度的变换,那么A的逆就是顺时针90度的变换,
总的来说 A逆是满足以下性质的唯一变换。
应用A 然后A逆, 你会回到原始状态,两个变换相继作用在代数上体现为矩阵乘法,所以A逆的核心在于,A*A-1 = 单位阵(单位阵 什么都不做)
一旦你找到了A-1 你就能早两边同×A-1 来求解向量方程。
这个过程在几何上就对应于逆向进行变换并跟踪v的动向。
当行列式为0时候····
除了0行列式之外,我们还有特定术语来描述它们,秩,当变幻的结果为一条直线时,也就是说结果是一维的,我们就称这个变换的秩为1.
如果变换后的向量落在一个二维平面上,我们称这个变换的秩为2.
所以说 秩 代表变换后空间的维数
比如对于2*2的矩阵,它的秩最大为2.意味着基向量仍然能张成整个二维空间,并且矩阵的行列式不为0,但是对于3*3的矩阵,秩为2意味着空间被压缩了。但是和秩为1的情况相比,压缩并不那么严重。
如果一个三维变换的行列式为0,并且变换后结果仍充满整个三维空间,那么它的秩为3.(行列式为0???)
不管是一条直线、一个平面还是三维空间等,所有可能的变换结果的集合,被称为矩阵的列空间。
你能猜到名字从哪来的,
矩阵的列告诉你基向量变换后的位置。
这些变换后的基向量张成的空间就是所有可能的变化结果。换句话说,列空间就是矩阵的列所张成的空间。
所以秩的更精确的定义是列空间的维数,
当秩达到最大时,意味着秩与列数相等。我们称之为 “满秩”
注意 零向量一定被包含在列空间中。因为线性变换必须保持原点位置不变,
对于一个满秩变换来说,唯一能变换后落在远点的就是零向量自身。对于一个非满秩的矩阵来说,它将空间压缩到一个更低的维度上,也就是说会有一系列向量在变换后成为零向量。
举个例子,如果一个二维线性变换将空间压缩到一条直线上,那么沿一个不同方向直线上的所有向量就被压缩到原点,
在变换后落在原点的向量集合,被称为所选矩阵的零空间或核,变换后一些向量落在零向量上,从这个意义上说,零空间就是这些向量所构成的空间。
对线性方程组来说,当向量v恰好为零向量时,零空间给出的就是这个向量方程的所有可能解,
以上就是从几何角度理解线性方程组的概述。
标签:变换,矩阵,线性代数,行列式,空间,向量,零空间 From: https://www.cnblogs.com/nlpers/p/17520995.html