1.线性代数基础

标签：begin end 矩阵 基础 线性代数 pmatrix vec 向量

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目录

• 一、向量
  • 向量的加法Vector Addition
  • 向量乘法Vector Multiplication
    • 1.点乘dot product
      • 点乘属性
      • 笛卡尔座标系下的点乘
      • 图形学中的点乘
    • 2.叉乘Cross product
      • 叉乘属性
      • 笛卡尔座标系下的叉乘
      • 图形学中的叉乘
• 二、矩阵
  • 矩阵乘法
    • • 例题
    • 矩阵乘法属性
    • 矩阵转置
    • 向量的点乘叉乘用矩阵来表示

一、向量

\[\vec{AB} = B − A \]

• 向量AB=点B-点A

\[\hat{a}=\frac{\vec{a}}{||\vec{a}||} \]

• 向量的单位向量（归一化）

\[A=\begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}\\A^T=\begin{pmatrix} x , y \\ \end{pmatrix}\\||A||=\sqrt{x^2+y^2} \]

• 向量的转置
• X和Y可以是任何（通常是正交单位）向量

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向量的加法Vector Addition

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向量乘法Vector Multiplication

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1.点乘dot product

\[\vec{a}\cdot\vec{b}=||\vec{a}||||\vec{b}||cos\theta \]

\[cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{||\vec{a}||||\vec{b}||} \]

\[cos\theta=\hat{a}\cdot\hat{b} \]

点乘属性

\[\vec{a} ·~\vec{b} = ~\vec{b} · ~\vec{a} \]

\[\vec{a} · (\vec{b} + \vec{~c}) = \vec{~a} ·\vec{~b} + \vec{~a} ·\vec{~c} \]

\[(k\vec{~a}) ·\vec{~b} = \vec{~a} · (k\vec{~b}) = k(\vec{~a} ·\vec{~b}) \]

笛卡尔座标系下的点乘

-in 2D

\[\vec{a} ·~\vec{b} =\begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ \end{pmatrix}=x_ax_b+y_ay_b \]

-in 3D

\[\vec{a} ·~\vec{b} ·~\vec{c} =\begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\z_a \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b\end{pmatrix}=x_ax_b+y_ay_b+z_az_b \]

图形学中的点乘

• 获取两个向量的夹角
• 获取一个向量在另一个向量上的投影

图中\(\vec{b_\bot}\)是\(\vec{b}\)在\(\vec{a}\)上的投影

\[\vec{b_\bot}=k\hat{a} \]

\[k=||\vec{b_\bot}||=||\vec{b}||cos\theta \]

• 判断两个向量的方向接近情况

附上\(cos\theta\)的变化图

• 由上图可知 \(\vec{a}\cdot\vec{b}\)的值是根据\(cos\theta\)的正负相关的，在第一和第四象限是正值，第二第三象限是负值。
• 所以两个向量点乘结果为负，说明两个向量的夹角>90（用来判断目标在角色身前还是身后）

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2.叉乘Cross product

• 叉乘结果向量c与两个初始向量a,b正交
• c的方向定义为垂直于a和b所构成的平面，并且a，b和c构成右手螺旋定则，也就是右手四指方向从a转向b，大拇指即得到c方向
• 常用于生成座标系
• c的模即以a和b为两条边的平行四边形的面积

叉乘属性

笛卡尔座标系下的叉乘

相关证明流程

\[\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix} y_az_b-y_bz_a \\ z_ax_b-x_az_b \\x_ay_b-y_ax_b \end{pmatrix} \]

图形学中的叉乘

• 用来判断左右
• 用来判断点在三角形的内侧/外侧

• 假如点P在三角形的内部需要满足\(\vec{AB}\times\vec{AP}>0\)、\(\vec{BC}\times\vec{BP}>0\)、\(\vec{CA}\times\vec{CP}>0\)
• 如果点p在某一条边上，那么该边上的叉乘结果就会是0（两个共线向量的叉乘结果为0）
• 如果有任何一个结果为负，那么p在三角形外

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二、矩阵

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矩阵乘法

• 矩阵A乘以矩阵B，需要满足条件矩阵A的列数=矩阵B的行数(M x N) (N x P) = (M x P)
• 将向量视为列矩阵

例题

第一个？=1x6+3x7=27,第二个？=0x4+4x3=12

矩阵乘法属性

• 不满足交互律，即\(AB\neq BA\)（B的列数不一定等于A的行数）
• 满足分配律和结合律
  • \(（AB）C=A（BC）\)
  • \(A(B+C)=AB+AC\)
  • \((A+B)C=AB+AC\)

矩阵转置

\(\begin{pmatrix}1&2 \\ 3&4 \\5&6 \end{pmatrix}^\top=\begin{pmatrix}1&3&5 \\ 2&4&6 \end{pmatrix}\)

• 属性

\[(AB)^\top=B^\top A^\top \]

• 单位矩阵

\[I_{3\times3}=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\0&0&1\end{pmatrix} \]

• A矩阵乘以A的逆矩阵，如果结果为单位矩阵，则称两者互逆。

\[AA^{-1}=A^{-1}A=I \]

• AB乘积的逆，跟转置类似

\[(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} \]

向量的点乘叉乘用矩阵来表示

• 点乘

\[\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}^{T}\vec{b}=\begin{pmatrix}x_a&y_a&z_a \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_b\\y_b\\z_b \end{pmatrix}=(x_ax_b+y_ay_b+z_az_b) \]

• 叉乘

\[\vec{a}\times\vec{b}=A*\vec{b}=\begin{pmatrix}0&-z_a&y_a\\z_a&0&-x_a\\-y_a&x_a&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_b\\y_b\\z_b \end{pmatrix} \]

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From： https://www.cnblogs.com/oOLzYOo/p/17519148.html