首页 > 其他分享 >线性代数本质理解回顾(三) 行列式

线性代数本质理解回顾(三) 行列式

时间:2023-07-02 09:01:00浏览次数:53  
标签:线性变换 回顾 缩放 变换 面积 线性代数 行列式 比例

内容来源:线性代数的本质 - 05 - 行列式_哔哩哔哩_bilibili

现在想象一些线性变换,你可能注意到其中有的空间向外拉伸,有的则向内挤压。

 

 有件事对理解这些线性变换很有用。那就是测量变换究竟对空间有多少拉伸或挤压。更具体一点,就是测量一个给定区域面积增大或减小的比例。

 

 以下面这个矩阵为例。

  

 所以说这个线性变换将它的面积变为6倍。

 

剪切矩阵。

 面积仍为1

 

实际上 你只需要知道这个单位正方形面积变化的比例,它就能告诉你其他任意区域的面积变化比例。这个特殊的缩放比例,即线性变换对面积产生改变的比例,被称为这个变换的行列式。

 最后这个例子非常重要,只需要检验一个矩阵的行列式是否为0,就能了解这个矩阵所代表的变换是否能将空间压缩到更小的维度上。

 

现在说的并不完全正确。完整概念下的行列式是允许出现负值的。

 那将一个区域放缩到负数倍是什么意思?

这和去向的概念有关,举个例子,注意这个变换在感觉上将整个平面翻转了

 

 就像一张纸翻了过来。

我们称这些类似的变换反转了空间去向。

另一种是考虑i帽和j帽的取向。变换之后 j帽处于i帽的右边。

 

行列式的绝对值依然表示区域面积的缩放比例。

那么负的面积缩放比例为什么会自然地用来描述取向翻转呢?

 以上就是行列式在二维空间的理解。在三维空间是什么意思?是体积的缩放。     

三维空间的负值行列式什么意思?有一种方法来描述三维空间的取向,那就是右手定则。

 否则,在变换后你只能用左手这么做,说明空间发生翻转,行列式为负。 

 

那么如何计算行列式?

 以下是直观理解。

 

三维如何计算?

 

标签:线性变换,回顾,缩放,变换,面积,线性代数,行列式,比例
From: https://www.cnblogs.com/nlpers/p/17520383.html

相关文章

  • 线性代数理解回顾(一)
    视频来源:线性代数的本质-02-线性组合、张成的空间与基_哔哩哔哩_bilibili 线性相关:对增加张成空间无贡献线性无关:对增加张成空间有贡献向量空间的一个基是张成该空间的一个线性无关的向量集。(只要能遍历空间就可以作为这个空间的基)  直观的说如果一个变换具有以下......
  • 线性代数亡羊补牢
    零基础,学线代,绩点过3不是梦!!原理逆序数:逆序对数量行列式符号:分别求行、列的逆序数,和偶正奇负行列式变换:对应成比例,值为0,交换行/列添负号上三角:\[\left|\begin{array}{c}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\\\end{array}\right|=a_{11}a_{22}a_{33}......
  • 1.线性代数基础
    目录一、向量向量的加法VectorAddition向量乘法VectorMultiplication1.点乘dotproduct点乘属性笛卡尔座标系下的点乘图形学中的点乘2.叉乘Crossproduct叉乘属性笛卡尔座标系下的叉乘图形学中的叉乘二、矩阵矩阵乘法例题矩阵乘法属性矩阵转置向量的点乘叉乘用矩阵来表示一、......
  • 精彩纷呈!LLUG 2023 北京场活动回顾来啦 | 视频回放已上线
    导读:在6月11日、6月12日,由龙蜥社区联合Linux中国主办,人民邮电出版社支持的LLUG2023第一场活动在北京市北人亦创国际会展中心成功举办。本文转自Linux中国,作者Bestony,以下为本次LLUG活动回顾全文:本次活动分为三个不同的部分:Linux中国社区技术实践、龙蜥社区发展经......
  • Java-基本语法回顾总结[13-24]
    (13)copyonwriteArrayList线程安全的arrayList,底层也是用数组实现的,主要集中在读与写操作上读:由于读写分别在老新数组上,因此,互相不干扰,也因此,读的性能不会受写的性能影响[适用于读多写少]写:写操作会生成新数组,在完成之前,其他线程无法进行写操作[上了锁,线程安全];在完成之前,读的......
  • 上周热点回顾(6.19-6.25)
    热点随笔:· 【网站公告】园子被处罚,请大家不要发布/转载任何网络小说 (博客园团队)· 程序员有没有必要成为业务领域专家? (勇哥编程游记)· 在这个大环境下我是如何找工作的 (crossoverJie)· 适合Windows桌面、MaterialDesign设计风格、WPF美观控件库【强烈推荐】 (chi......
  • 回顾英语语法的一些经验之谈
    一些经验对我来说目前该怎么学习英语语法系统地学习一遍时间成本太大,投入产出比太小,因此应该这样学:先看书,书上哪一个概念不懂,就听课,思考。在语法这一块,思考其意义还是很重要的。回顾语法的意义语法是为你看不懂的句子服务的。那些你能看懂意思的句子,没有意义去分析它的语法。......
  • 一文回顾深度学习发展史上最重要经典模型
        这篇文章的目的是回顾经过时间考验的,被广泛采用的想法。我将介绍一小部分技术,这些技术涵盖了解现代深度学习研究所必需的许多基本知识。如果你是该领域的新手,那么这是一个很好的起点。         深度学习是一个瞬息万变的领域,大量的研究论文和想法可能会令人不知所......
  • 线性代数-二次型-坐标变换笔记
    原来的二次型\(f\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\)经过坐标变换变成了\(g\left(y_{1},y_{2},y_{3}\right)\)这个新的二次型$x^{\mathrm{T}}Ax$经过坐标变换变成$y^{\mathrm{T}}By$原来的二次型矩阵\(A\)变成了\(B\)(也是实对称矩阵)\(A\)和\(B\)之间的之间的关......
  • 线性代数笔记 #2 | 向量空间相关
    所用教材:席南华基础代数(第一卷)柯斯特利金代数学引论练习模块:https://www.cnblogs.com/IhopeIdieyoung/p/17495666.html线性相关(lineardependence):我们定义\(\mathbb{R}^n\)中的向量(组)\(v_1,v_2,\cdotsv_k\)是线性相关的,当且仅当存在不全为0的数(纯量)\(a_1,......