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线性代数本质理解回顾(三) 行列式

时间:2023-07-02 09:01:00浏览次数:51  
标签:线性变换 回顾 缩放 变换 面积 线性代数 行列式 比例

内容来源:线性代数的本质 - 05 - 行列式_哔哩哔哩_bilibili

现在想象一些线性变换,你可能注意到其中有的空间向外拉伸,有的则向内挤压。

 

 有件事对理解这些线性变换很有用。那就是测量变换究竟对空间有多少拉伸或挤压。更具体一点,就是测量一个给定区域面积增大或减小的比例。

 

 以下面这个矩阵为例。

  

 所以说这个线性变换将它的面积变为6倍。

 

剪切矩阵。

 面积仍为1

 

实际上 你只需要知道这个单位正方形面积变化的比例,它就能告诉你其他任意区域的面积变化比例。这个特殊的缩放比例,即线性变换对面积产生改变的比例,被称为这个变换的行列式。

 最后这个例子非常重要,只需要检验一个矩阵的行列式是否为0,就能了解这个矩阵所代表的变换是否能将空间压缩到更小的维度上。

 

现在说的并不完全正确。完整概念下的行列式是允许出现负值的。

 那将一个区域放缩到负数倍是什么意思?

这和去向的概念有关,举个例子,注意这个变换在感觉上将整个平面翻转了

 

 就像一张纸翻了过来。

我们称这些类似的变换反转了空间去向。

另一种是考虑i帽和j帽的取向。变换之后 j帽处于i帽的右边。

 

行列式的绝对值依然表示区域面积的缩放比例。

那么负的面积缩放比例为什么会自然地用来描述取向翻转呢?

 以上就是行列式在二维空间的理解。在三维空间是什么意思?是体积的缩放。     

三维空间的负值行列式什么意思?有一种方法来描述三维空间的取向,那就是右手定则。

 否则,在变换后你只能用左手这么做,说明空间发生翻转,行列式为负。 

 

那么如何计算行列式?

 以下是直观理解。

 

三维如何计算?

 

标签:线性变换,回顾,缩放,变换,面积,线性代数,行列式,比例
From: https://www.cnblogs.com/nlpers/p/17520383.html

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