所用教材:
席南华 基础代数(第一卷)
柯斯特利金 代数学引论
练习模块:https://www.cnblogs.com/IhopeIdieyoung/p/17495666.html
线性相关(linear dependence): 我们定义\(\mathbb{R}^n\)中的向量(组)\(v_1, v_2, \cdots v_k\)是线性相关的, 当且仅当存在不全为0的数(纯量)\(a_1, a_2, \cdots a_k\)使得
\[a_1v_1 + a_2v_2 + \cdots + a_kv_k = \vec{0} \], 反之, 不存在这组数的话, 我们就称之为线性无关的.
(线性无关 \(\Rightarrow\)(蕴含) 系数组\(a_1, a_2, \cdots a_k\)全为0)
命题1: 如果向量(组)\(v_1, v_2, \cdots v_k\)的一部分是线性相关的, 那么向量(组)\(v_1, v_2, \cdots v_k\)是线性相关的.
证明: 显然
推论1: 如果向量(组)\(v_1, v_2, \cdots v_k\)的是线性无关的, 那么向量(组)\(v_1, v_2, \cdots v_k\)的每一部分都是线性无关的.
证明: 同命题1
命题2: 如果向量(组)\(v_1, v_2, \cdots v_k\)的是线性相关的, 当且仅当其中至少有一个向量是其余向量的线性组合
证明:
命题3: 如果向量(组)\(v_1, v_2, \cdots v_k\)的是线性无关的, 而向量(组)\(v_1, v_2, \cdots v_k, v^{`}\)是线性相关的, 那么\(v^`\)是\(v_1, v_2, \cdots v_k\)的线性组合
证明:
命题4: 如果向量(组)\(v_1, v_2, \cdots v_k\)的是线性无关的, 而\(v^`\)不科研表示成\(v_1, v_2, \cdots v_k\)的线性组合, 那么向量(组)\(v_1, v_2, \cdots v_k, v^{`}\)是线性无关的
证明: 与命题3等价
假设\(V\)是\(\mathbb{R}^n\)的一个线性子空间, 假设\(V\)中的向量都可以表示成\(V\)中的向量(组)\(v_1, v_2, \cdots v_k\)的线性组合, 我们称向量(组)\(v_1, v_2, \cdots v_k\)为\(V\)的线性基, 或者基(basis)
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