向量的旋转一共有三种表示方法：旋转矩阵、欧拉角和四元数，接下来我们介绍一下每种旋转方法的原理以及相互转换方式。
旋转矩阵
坐标变换的作用
在一个机器人系统中，每个测量元件测量同一物体得出的信息是不一样的，原因就在于“每个测量元件所测量的数据是基于不同坐标系所测量的”，例如：
在这辆车中有激光雷达M和激光雷达W，这两个雷达测量的数据截然不同，但是这辆汽车相对于测量物体的位置是唯一的，这就说明“由不同位置雷达测量的数据代表的物理含义（即都表示汽车与被测物体的相对位置）是相同的”。那既然被测物体在不同坐标系中的坐标不同但物理含义相同，这就涉及到不同坐标系中坐标的相互转化。下面这个视频将使你对坐标变换有一个初步的认识：
https://www.bilibili.com/video/av808747163/?zw
我们会疑惑：world坐标系是什么？
在空间中会有n+1个坐标系，其中只有一个坐标系起到标定作用，也就是说“其他n个坐标系全都是基于该坐标系找到自己在空间中的位置的”。只有大家都知道了自己在该坐标系空间中的具体位置，坐标转换才可以顺利进行下去。
实现坐标变换所需的数据
我们常用出发于坐标系原点终止于坐标点的向量，来表示坐标点相对于坐标原点的位置（距离+方位）。坐标系的相互转化必须以地球坐标系为媒介才可以实现，即坐标系的相互转化必须已知“任意坐标系中各个坐标轴在world坐标系中的坐标”：
在描述机器人运动时，我们常常提及“位姿”，其实位姿是一个合成词，我们可以将其拆解为“位置+姿态”。位置就是指“机器人某个运动关节/测量传感器在世界坐标系中的具体位置，姿态就是”基于该点的坐标系相较于世界坐标系所进行的旋转“，如下所示：
坐标变换中旋转的实质
坐标变换的实质就是“投影”。首先，我们解读一下向量是如何转化为坐标的：
理解向量坐标的由来对于理解坐标变换的实质至关重要！接下来我们考虑一下单位向量在坐标系中的投影：
我们将坐标系A作为参考坐标系（world坐标系），基于坐标系A表示坐标系B的各个坐标轴并且将各个向量单位化，由此我们得到一个旋转矩阵，旋转矩阵各个元素的含义如下：
我们先前提到过，向量坐标的计算无非就是投影，那么向量坐标从坐标系B转换至坐标系A无非就是两次投影而已：
坐标转换的实际意义无非就是将向量P在坐标系A中各个轴的投影分别累加起来形成一个新的坐标。那问题来了，累加如何操作呢？这就涉及旋转矩阵以及矩阵乘法运算了。
其实，这个矩阵的乘法与卷积有着异曲同工之妙。旋转矩阵的性质：
坐标变换中平移的实质
向量可以在坐标系中任意移动，只要不改变向量的方向和大小，向量的属性不会发生变化。但是我们研究的是坐标系B中一个坐标点在坐标系A中的映射，因此需要考虑坐标系B的原点O2相较于坐标系A原点O1平移的距离。
每个基于坐标系B的向量先进性旋转变换，再与向量O1O2求和，即可得到向量P再坐标系A中的实际映射。
如何计算坐标系B各坐标轴在坐标系A上的投影？（多坐标变换）
首先，我们要知道世界坐标系下坐标系A/坐标系B的各个坐标轴在世界坐标系（参考坐标系）的坐标：
标签：欧拉角,变换,矩阵,旋转,四元,坐标,坐标系,向量 From： https://www.cnblogs.com/zhjblogs/p/16736101.html