\({\color{Red}{欢迎到学科网下载资料学习 }}\)
【基础过关系列】2022-2023学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019)
\({\color{Red}{ 跟贵哥学数学,so \quad easy!}}\)
选择性必修第一册同步巩固,难度2颗星!
基础知识
空间向量的直角坐标系
在空间直角坐标系\(O-xyz\)中,对空间任一点\(A\),存在唯一的有序实数组\((x,y,z)\),使\(\overrightarrow{O A}=x \vec{\imath}+y \vec{\jmath}+z \vec{k}\),有序实数组\((x,y,z)\)叫作向量\(A\)在空间直角坐标系中的坐标,记作\(A(x,y,z)\),\(x\)叫横坐标,\(y\)叫纵坐标,\(z\)叫竖坐标.
建立直角坐标系的方法
1 利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系
2 利用线面垂直关系构建直角坐标系
3 利用面面垂直关系构建直角坐标系
确定空间直角坐标系中点坐标的方法
求点的坐标和设点坐标的方法是一致的,常见方法具体如下
1 射影法
看所求点分别在\(x\),\(y\),\(z\)轴的投影对应的数值.
如求点\(P\)横坐标\(x\),过点\(P\)作\(PP_1⊥\)平面\(xoy\),再过点\(P_1\)作\(P_1 P_2⊥x\)轴,看点\(P_2\)对应数值即是\(x\);
或直接构造长方体\(OP\),即求出线段\(P_1 P_3\) 、\(P_1 P_2\)、\(PP_1\)长度,再注意下正负号可得点\(B\)坐标.
一般地,点在平面\(xOy\)、\(xOz\)、\(yOz\)或易得点在\(x\),\(y\),\(z\)轴的投影均适合射影法;
2 公式法
对中点、\(n\)等分点、重心等点可用公式求解;
若点\(A(x_1,y_1,z_1 )\),\(B(x_2,y_2,z_2 )\),\(C(x_3,y_3,z_3 )\),
则线段\(AB\)的中点坐标\(\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}, \dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}, \dfrac{z_{1}+z_{2}}{2}\right)\);三角形\(ABC\)的重心\(\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{3}, \dfrac{y_{1}+y_{2}}{3}, \dfrac{z_{1}+z_{2}}{3}\right)\);
点\(P\)在线段\(AB\)上且\(AP=λPB\),则\(P\left(\dfrac{x_{1}+\lambda x_{2}}{1+\lambda}, \dfrac{y_{1}+\lambda y_{2}}{1+\lambda}, \dfrac{z_{1}+\lambda z_{2}}{1+\lambda}\right)\).
3 向量法
\((1)\)利用平行、垂直关系求某向量的坐标,再求点坐标;
\((2)\)利用三角形法则或平行四边形法则,求出某向量的坐标,再求点坐标;
\((3)\)三点共线问题:如若点\(A(x_1,y_1,z_1 )\),\(B(x_2,y_2,z_2 )\),若点\(C\)在线段\(AB\)上,则可设\(\overrightarrow{A C}=\lambda \overrightarrow{A B}\),利用待定系数法\(C(x,y,z)\)求出\(x\),\(y\),\(z\)!
4 几何法
把空间问题转化为平面问题,常见于利用相似三角形的性质.
5 待定系数法
设点\(P(x,y,z)\),利用已知条件求出\(x\),\(y\),\(z\).
6 函数法
常用于设动点坐标;
动点\(P(a,b,c)\)在定直线\(AB\)上,把\(AB\)投影到空间坐标系中某个平面,如投影平面\(xoy\),得到投影直线\(A'B'\)方程,从而达到动点\(P\)投影\(P'(a,b)\)中\(a\),\(b\)的关系.
以上的方法其实也是相通的,也还存在其他一些灵活的处理方法(比如平移法等),都需要理解再灵活运用.
经典例题
【题型一】建立直角坐标系的方法
利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系
【典题1】 如图,已知直四棱柱\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)中,\(AA_1=2\),底面\(ABCD\)是直角梯形,\(∠A\)为直角,\(AB∥CD\),\(AB=4\),\(AD=2\),\(DC=1\),求异面直线\(BC_1\)与\(DC\)所成角的余弦值.
解析 易得\(DA\)、\(DC\)、\(DD_1\)三线两两垂直,
如图,以\(D\)为坐标原点,分别以\(DA\)、\(DC\)、\(DD_1\)所在直线为\(x\),\(y\),\(z\)轴建立空间直角坐标系.
(后面解析省略)
利用线面垂直关系构建直角坐标系
【典题2】 如图,在三棱柱\(ABC-A_1 B_1 C_1\)中,\(AB⊥\)侧面\(BB_1 C_1 C\),\(E\)为棱\(CC_1\)上异于\(C\)、\(C_1\)的一点,\(EA⊥EB_1\).已知\(A B=\sqrt{2}\),\(BB_1=2,BC=1\),\(\angle B C C_{1}=\dfrac{\pi}{3}\).求二面角\(A-EB_1-A_1\)的平面角的正切值.
解析 \(AB⊥\)侧面\(BB_1 C_1 C\),而\(BC\)与\(BB_1\)不垂直,原图没三条两两垂直直线,此时在平面\(BB_1 C_1 C\)上过\(B\)点作垂直\(BB_1\)的直线,便得\(BD\)、\(BB_1\)、\(BA\)三线两两垂直,
如图,以\(B\)为原点,分别以\(BD\)、\(BB_1\)、\(BA\)所所在直线为\(x\),\(y\),\(z\)轴建立空间直角坐标系.
(后面解析省略)
利用面面垂直关系构建直角坐标系
【典题3】 如图,在四棱锥\(V-ABCD\)中,底面\(ABCD\)是正方形,侧面\(VAD\)是正三角形,平面\(VAD⊥\)底面\(ABCD\).求面\(VAD\)与面\(VDB\)所成的二面角的余弦值.
解析 取\(AD\)的中点\(O\),连接\(VO\),
\(∵∆VAD\)是正三角形,\(∴VO⊥AD\)
又\(∵\)平面\(VAD⊥\)底面\(ABCD\) \(∴VO⊥\)平面\(ABCD\)
则以点\(O\)为原点,分别以\(OA\)、\(OV\)所在直线为\(x\)、\(z\)轴,以过点\(O\)作\(AD\)的垂线所在直线为\(y\)轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
点拨
① 同一道题目中建系的方法不是唯一,是优是劣取决于关键点的坐标是否好求;
② 建系最根本的想法是找到两两垂直的三线,多关注题中有垂直关系的量,
(1) 垂直关系:长方体模型、等腰三角形的三线合一、菱形对角线相互垂直等;
(2) 若有线面垂直,则可考虑该面为平面\(xOy\)、\(xOz\)、\(yOz\)之一;
(3) 若有面面垂直,则可考虑两面为平面\(xOy\)、\(xOz\)、\(yOz\)其中两个.
③ 若是分别以\(OA\)、\(OB\)、\(OC\)所所在直线为\(x\),\(y\),\(z\)轴建立空间直角坐标系,则要先证明\(OA\)、\(OB\)、\(OC\)三线两两垂直,需要严谨些,不能想当然.
巩固练习
1 如图,在直三棱柱\(ABC-A_1 B_1 C_1\)中,\(A_1 B_1=A_1 C_1\),\(F\)为\(B_1 C_1\)的中点,\(D\),\(E\)分别是棱\(BC\),\(CC_1\)上的点,且\(AD⊥BC\),如何建立空间直角坐标系呢?
2.如图,已知四棱锥\(P-ABCD\)的底面\(ABCD\)为等腰梯形,\(AB∥DC\),\(AC⊥BD\),\(AC\)与\(BD\)相交于点\(O\),且顶点\(P\)在底面上的射影恰为\(O\)点,如何建立空间直角坐标系呢?
3 如图,三棱锥\(V-ABC\)的侧棱长都相等,底面\(ABC\)与侧面\(VAC\)都是以\(AC\)为斜边的等腰直角三角形,如何建立空间直角坐标系呢?
参考答案
- 以\(D\)为原点,分别以\(BD\)、\(DA\)、\(DF\)所在的直线为\(x\),\(y\),\(z\)轴建立空间直角坐标系.
- 以\(O\)为原点,分别以\(OB\)、\(OA\)、\(OP\)所在的直线为\(x\),\(y\),\(z\)轴建立空间直角坐标系.
- 取\(AC\)中点\(E\),以\(E\)为原点,分别以\(EB\)、\(EC\)、\(EV\)所在的直线为\(x\),\(y\),\(z\)轴建立空间直角坐标系.
【题型二】确定空间直角坐标系中点坐标的方法
情况1 求点的坐标
【典题1】 在平行六面体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)中,底面\(ABCD\)是矩形,\(AB=4\),\(AD=2\), 平行六面体高为\(2 \sqrt{3}\),顶点\(D\)在底面\(A_1 B_1 C_1 D_1\)的射影\(O\)是\(C_1 D_1\)中点,设\(△AB_1 D_1\)的重心\(G\),建立适当空间直角坐标系并写出下列点的坐标.
(1) \(A_1\) 、\(B_1\) 、\(A\)、\(D_1\);
(2) \(G\);
(3)\(B\);
(4)若\(N\)为\(DD_1\)上点,且\(ON⊥ DD_1\)写出\(N\)坐标;
解析 如图,以\(O\)为坐标原点,分别以\(OC_1\) 、\(OD\)所在直线为\(y\),\(z\)轴,以过点\(O\)作\(B_1 C_1\)的平行线为\(x\)轴建立空间直角坐标系.
(1)射影法
求点\(A_1 (x,y,z)\),在平面\(xoy\)上则\(z=0\),
由图可知它到\(y\)轴投影\(D_1\)对应数值\(-2\),则\(y=-2\),
到\(x\)轴投影对应数值为\(2\),则\(x=2\),即\(A_1 (2,-2,0)\);
同理得\(B_1 (2,2,0)\)、\(A(2,0,2 \sqrt{3})\)、\(D_1 (0,-2,0)\);
(2)公式法
\(∵G\)是\(△AB_1 D_1\)的重心,
\(\therefore G=\left(\dfrac{2+2+0}{3}, \dfrac{2+0-2}{3}, \dfrac{0+2 \sqrt{3}+0}{3}\right)=\left(\dfrac{4}{3}, 0, \dfrac{2 \sqrt{3}}{3}\right)\)
(由三角形重心公式\({\color{Red}{ \left(\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \dfrac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}, \dfrac{z_{1}+z_{2}+z_{3}}{3}\right)}}\)可得)
(3)向量法
设\(B ( x,y,z )\),则\(\overrightarrow{B_{1} B}=(x-2, y-2, z)\),\(\overrightarrow{D_{1} D}=(0,2,2 \sqrt{3})\),
又\(\because \overrightarrow{B_{1} B}=\overrightarrow{D_{1} D}\), (利用向量平行关系)
比较得\(x=2\),\(y=4\),\(z=2 \sqrt{3}\),
\(∴\)点\(B\)坐标为\((2,4,2 \sqrt{3})\) (投影法也可以)
(4)\(∵D_1\)、\(N\)、\(D\)三点共线,可设\(\overrightarrow{D_{1} N}=\lambda \overrightarrow{D D_{1}}\),
(某点在一直线上常用向量法)
即\(\overrightarrow{D_{1} N}=\lambda(0,2,2 \sqrt{3})=(0,2 \lambda, 2 \sqrt{3} \lambda)\),
\(\therefore \overrightarrow{O N}=\overrightarrow{O D_{1}}+\overrightarrow{D_{1} N}=(0,2 \lambda-2,2 \sqrt{3} \lambda)\),
\(\therefore N(0,2 \lambda-2,2 \sqrt{3} \lambda)\),
\(\because \overrightarrow{O N} \cdot \overrightarrow{D_{1} D}=0\),
\(\therefore 0+4(\lambda-1)+12 \lambda=0\),解得\(\lambda=\dfrac{1}{4}\),
故\(N\left(0,-\dfrac{3}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\).
(几何法也可以,求出点\({\color{Red}{N }}\)到\({\color{Red}{ y,z}}\)轴的距离)
点拨
(1)射影法:看所求点分别在\(x\),\(y\),\(z\)轴的投影对应的数值;
一般地,点在平面\(xOy\)、\(xOz\)、\(yOz\)或易得点在\(x\),\(y\),\(z\)轴的投影均适合射影法;
② 公式法:对中点、\(n\)等分点、重心等点可用公式求解;
③ 向量法:常用于涉及到平行、垂直、共线等向量关系中的点.
各方法之间也是相通的,需要理解再灵活运用.
【典题2】 如图,矩形\(ABCD\)中,\(2BC=CD\),\(E\)为\(CD\)的中点,以\(BE\)为折痕把四边形\(ABED\)折起,使\(A\)达到\(P\)的位置,且\(PC⊥BC\),\(M\),\(N\),\(F\)分别为\(PB\),\(BC\),\(EC\)的中点.建系求点\(P\)的坐标.
解析 设\(BC=2\),则\(BN=CN=1\),\(CF=EF=1\),
以\(C\)为原点,\(CB\)为\(x\)轴,\(CE\)为\(y\)轴,过\(C\)作平面\(BCE\)的垂直\(CQ\)为\(z\)轴,建立空间直角坐标系,
则\(B(2,0,0)\),\(E(0,2,0)\),\(F(0,1,0)\),
设\(P(x,y,z)\),\(PB=CD=2BC=4\),
则\(J P E=\sqrt{P D^{2}+D E^{2}}=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2 \sqrt{2}\),\(P C=\sqrt{P B^{2}-B C^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=2 \sqrt{3}\),
\(\therefore\left\{\begin{array}{l}
(x-2)^{2}+y^{2}+z^{2}=16 \\
x^{2}+(y-2)^{2}+z^{2}=8 \\
x^{2}+y^{2}+z^{2}=12
\end{array}\right.\),解得\(x=0\),\(y=2\),\(z=2 \sqrt{2}\),
\(\therefore P(0,2,2 \sqrt{2})\).
(不同的建系,坐标当然不同,这里主要介绍待定系数法求点坐标)
点拨 利用待定系数法,设\(P(x,y,z)\),再利用两点距离公式求得点的坐标.
情况2 设点坐标
【典题3】 长方形\(ABCD\)中,\(AB=2AD\),\(M\)是\(CD\)中点(图1),将\(∆ADM\)沿\(AM\)折起,使得\(AD⊥BM\)(图\(2\))在图\(2\)中
(1)求证:平面\(ADM⊥\)平面\(ABCM\);
(2)在线段\(BD\)上是否存点\(E\),使得二面角\(E-AM-D\)的余弦值为\(\dfrac{\sqrt{5}}{5}\),说明理由.
解析 (1)证明:在长方形\(ABCD\)中,由\(A B=2 A D=2 \sqrt{2}\),\(M\)是\(DC\)中点,
得\(AM=BM=2\),而\(A B=2 \sqrt{2}\),
\(∴AM^2+BM^2=AB^2\),得\(BM⊥AM\),
又\(AD⊥BM\),且\(AD∩AM=A\),\(∴BM⊥\)平面\(ADM\),
而\(BM⊂\)平面\(ABCD\),
\(∴\)平面\(ADM⊥\)平面\(ABCM\);
(2) 思路:先根据“点\({\color{Red}{E(a,b,c) }}\)在线段\({\color{Red}{BD }}\)上”,得到其坐标形式(即找到\({\color{Red}{a }}\),\({\color{Red}{ b}}\),\({\color{Red}{c }}\)的关系),再利用二面角余弦值求出点E的坐标;那怎么引入参数设出点\({\color{Red}{ E}}\)坐标呢?
解:取\(AB\)中点\(N\),以\(M\)为坐标原点,分别以\(MN\),\(MC\)所在直线为\(x\),\(y\)轴,
在平面\(ADM\)内,过\(M\)作底面垂线为\(z\)轴,建立空间直角坐标系,
则\(M(0,0,0)\),\(A(\sqrt{2},-1,0)\),\(D\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},-\dfrac{1}{2}, 1\right)\),\(B(\sqrt{2}, 1,0)\),
\(\overrightarrow{M A}=(\sqrt{2},-1,0)\),\(\overrightarrow{M D}=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},-\dfrac{1}{2}, 1\right)\),
方法1 向量法
设\(E\)为线段\(BD\)上的点,
则\(\overrightarrow{D E}=\lambda \overrightarrow{D B}=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \lambda, \dfrac{3}{2} \lambda,-\lambda\right)(0 \leq \lambda \leq 1)\),
\(\overrightarrow{M E}=\overrightarrow{D E}-\overrightarrow{D M}=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \lambda+\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{3}{2} \lambda-\dfrac{1}{2}, 1-\lambda\right)\),(即得到点\({\color{Red}{ E}}\)坐标)
(以上是由共线关系利用向量法引入参数\({\color{Red}{λ }}\)设点\({\color{Red}{E }}\)坐标)
(PS 以下求\({\color{Red}{λ }}\)的过程学完求二面角的向量法方能理解)
设平面\(AMD\)的一个法向量为\(\vec{m}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)\),平面\(EAM\)的一个法向量为\(\vec{n}=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)\),
由\(\left\{\begin{array}{l}
\vec{m} \cdot \overrightarrow{M A}=\sqrt{2} x_{1}-y_{1}=0 \\
\vec{m} \cdot \overrightarrow{M D}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} x_{1}-\dfrac{1}{2} y_{1}+z_{1}=0
\end{array}\right.\),
取\(y_{1}=\sqrt{2}\),得\(\vec{m}=(1, \sqrt{2}, 0)\);
由\(\left\{\begin{array}{l}
\vec{n} \cdot \overrightarrow{M A}=\sqrt{2} x_{2}-y_{2}=0 \\
\vec{n} \cdot \overrightarrow{M E}=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \lambda+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) x_{2}+\left(\dfrac{3}{2} \lambda-\dfrac{1}{2}\right) y_{2}+(1-\lambda) z_{2}=0
\end{array}\right.\),
取\(y_{2}=\sqrt{2}\),得\(\vec{n}=\left(1, \sqrt{2}, \dfrac{2 \sqrt{2} \lambda}{\lambda-1}\right)\).
由\(\cos <\vec{m}, \vec{n}>=\dfrac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|}=\dfrac{3}{\sqrt{3} \times \sqrt{3+\dfrac{8 \lambda^{2}}{(\lambda-1)^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\),
解得\(\lambda=3+\sqrt{6}\)(舍)或\(\lambda=3-\sqrt{6} \in[0,1]\).
\(∴\)在线段\(BD\)上存点\(E\),使得二面角\(E-AM-D\)的余弦值为\(\dfrac{\sqrt{5}}{5}\).
方法2 函数法
设\(E(a,b,c)\),
\(\because D\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},-\dfrac{1}{2}, 1\right)\),\(B(\sqrt{2}, 1,0)\),
\(∴\)点\(B\)、\(D\)、\(E\)在平面\(xoy\)上投影为\(B^{\prime}(\sqrt{2}, 1)\)、\(D^{\prime}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},-\dfrac{1}{2}\right)\),\(E^{\prime}(a, b)\),
(相当于把直线\({\color{Red}{BD }}\)投影到平面\({\color{Red}{ xoy}}\)上,空间问题化为平面问题,降维处理)
求得直线\(B'D'\)的方程为\(y=\dfrac{3 \sqrt{2}}{2} x-2\),则\(b=\dfrac{3 \sqrt{2}}{2} a-2\);
点\(B\)、\(D\)、\(E\)在平面\(yoz\)上投影为\(B^{\prime \prime}(1,0)\)、\(D^{\prime \prime}\left(-\dfrac{1}{2}, 1\right)\),\(E^{\prime \prime}(b, c)\),
求得直线\(B^{\prime \prime} D^{\prime \prime}\)的方程为\(z=-\dfrac{2}{3} y+\dfrac{2}{3}\),
则\(c=-\dfrac{2}{3} b+\dfrac{2}{3}\),即\(c=-\sqrt{2} a+2\);
所以\(E\)的坐标可设为\(\left(a, \dfrac{3 \sqrt{2}}{2} a-2,-\sqrt{2} a+2\right)\),
以下求解类似方法1!
点拨
① 本题在处理“点\(E\)在线段\(BD\)上”这一条件时,想设点\(E(a,b,c)\)找到\(a\),\(b\),\(c\)的关系,介绍了向量法和函数法,而向量法引入变量\(λ\)表示\(a\),\(b\),\(c\),而函数法变量是\(a\),用其表示\(b\),\(c\)便可;
② 有时也可用几何法相似求解,
比如在方法2中求\(E(a,b,c)\)中\(b\)、\(c\)的关系,
如下图,过点\(D^{\prime \prime}\)、\(E\)分别作\(D^{\prime \prime} H \perp x\)轴,\(EG⊥x\)轴,
由\(\Delta D^{\prime \prime} H B^{\prime \prime} \sim \Delta E G B^{\prime \prime}\)得\(\dfrac{D^{\prime \prime} H}{E G}=\dfrac{B^{\prime \prime} H}{B^{\prime \prime} G} \Rightarrow \dfrac{1}{c}=\dfrac{3}{2(1-b)} \Rightarrow c=-\dfrac{2}{3} b+\dfrac{2}{3}\).
巩固练习
1.一张平行四边形的硬纸\(ABC_0 D\)中,\(AD=BD=1\),\(A B=\sqrt{2}\).沿它的对角线\(BD\)折起,使点\(C_0\)到达平面外\(C\)点的位置.若\(\cos \angle C A B=\dfrac{3}{4}\),建系求点\(C\)的坐标.
2.四棱锥\(S-ABCD\)中,\(AB∥CD\),\(BC⊥CD\),侧面\(SAB\)为等边三角形,\(AB=BC=2\),\(CD=SD=1\).建系求点\(S\)的坐标.
3.在四棱锥\(P-ABCD\)中,底面\(ABCD\)是正方形,侧棱\(PD\)垂直于底面\(ABCD\),\(PD=DC\),\(E\)是\(PC\)的中点,\(F\)在\(PB\)上,若\(EF⊥PB\)于点\(F\),试求点\(F\)的坐标.
参考答案
,
如图建系,则\(C\left(\dfrac{1}{2}, 1, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\).,
如图建系,则\(S\left(1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\).,
如图建系,则\(F\left(\dfrac{2}{3}, \dfrac{2}{3}, \dfrac{4}{3}\right)\).
(点的坐标与建系的方法有关)