广义坐标与基本假设

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  学习理论力学之前，我们需要忘记之前学过的牛顿力学体系，因为这是两个完全不同的研究力学的方法，牛顿力学最核心的东西应该是牛顿第二定律，而理论力学最核心的东西应该是拉格朗日量与最小作用量原理。

Part 1: 广义坐标

      坐标大家都知道是描述力学系统的一个工具，但坐标不仅仅只有用 x，y来描述（笛卡尔坐标系），同时也存在用 r，θ 来描述的坐标（极坐标），例如，一个双单摆系统中，可以用其两个摆度来描述此系统。由此，广义坐标的定义就出来了，这种坐标不是仅仅描述角度或者角速度，同时还可以描述电量，温度等。在讲更多之前，我们先申明一点，坐标对时间的导数我们称之为速度，通常用$\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$来表示，在物理中我们还可以写成 $\dot{x}$。欧克，广义坐标就讲完了，实际上不难，只是将坐标的所属范围扩大了。

Part 2: 基本假设

2.1 拉格朗日量

      每个力学系统都有一个“拉格朗日量”，例如，一个小球在竖直平面内，用 x，y来描述它的位置，考虑一个沿 y 方向的重力场，那么该小球的拉格朗日量为：

$L=\frac{1}{2}m\left ( \dot{x}^{2}+\dot{y}^{2} \right )-mgy$

      乍一看，有没有很像牛顿力学中的动能。再来一个更像的，自由粒子的拉格朗日量为：

$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}$

      这是不是就更像动能了。这里说一个趣事，大家在学牛顿力学的时候，在研究问题时是不是需要画很多图，但是，在拉格朗日发表理论力学的教材的时候，他在前言中写道：理论力学的研究，我们不需要画图，我们只需要一个优秀的数理基础，就能够解决一切问题。

2.2 变分：拉格朗日方程

      假设一个系统只有一个坐标 q，其速度为$\dot{q}$，已知在 t₁ 时刻坐标为 q₁，在 t₂ 时刻坐标为 q₂，定义一个作用量：$S=\int_{t_{1}}^{t_{2}}L\left ( q\left ( t \right ),\dot{q}\left ( t \right ) \right )dt$，只需保证q(t₁) = q₁，q(t₂) = q₂。这其实就有点像路程和位移之间的关系，我管你怎么动，反正起始点和终点是那个即可，我们暂且称这些运动为奇怪的运动。

      由此，我们引出拉格朗日力学的第二基本假设：在这些奇怪的运动中，真正的运动算出的 S 是一个极小值，用数学表达就是 δS = 0，其中这个 δS = 0就是大名鼎鼎的变分原理。接下来我从变分原理入手推导一下拉格朗日方程，先申明一点，此处的 δ 表示变分，但其作用实际上和求导差不多，暂且认为它与积分、求导满足交换律。来吧，前方高能，不适者请自动跳过。

  $\delta S = \delta \int_{t_{1}}^{t_{2}}L\left ( q\left ( t \right ),\dot{q}\left ( t \right ) \right )dt$

  $= \int_{t_{1}}^{t_{2}}\delta L\left ( q\left ( t \right ),\dot{q}\left ( t \right ) \right )dt$
  $= \int_{t_{1}}^{t_{2}}\left ( \frac{\partial L}{\partial q}\delta q+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta \dot{q} \right )dt$

  $= \int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{\partial L}{\partial q}\delta qdt + \int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta \frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} t}dt$

  $= \int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{\partial L}{\partial q}\delta qdt + \int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \left ( \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\delta q \right )dt$

      对后一项进行分部积分，即：

  $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left ( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta q \right ) = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left ( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right )\delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\left ( \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\delta q \right )$

  等号两边同时积分并移项可得：

  $\int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\left ( \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\delta q \right )dt = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left ( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta q \right )dt - \int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left ( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right )\delta qdt$

  $= \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta q - \int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left ( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right )\delta qdt$

  由于 δq = 0，因此：$\delta S = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\left ( \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right )\delta qdt$

  要让 δS = 0，那么$\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = 0$

  该式便是大名鼎鼎的拉格朗日运动方程。