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广义坐标与基本假设

时间:2022-08-28 18:23:23浏览次数:88  
标签:基本 right frac 广义坐标 假设 partial left dot mathrm

本文转自:https://zhuanlan.zhihu.com/p/133815204

  学习理论力学之前,我们需要忘记之前学过的牛顿力学体系,因为这是两个完全不同的研究力学的方法,牛顿力学最核心的东西应该是牛顿第二定律,而理论力学最核心的东西应该是拉格朗日量与最小作用量原理。

Part 1: 广义坐标

      坐标大家都知道是描述力学系统的一个工具,但坐标不仅仅只有用 xy来描述(笛卡尔坐标系),同时也存在用 rθ 来描述的坐标(极坐标),例如,一个双单摆系统中,可以用其两个摆度来描述此系统。由此,广义坐标的定义就出来了,这种坐标不是仅仅描述角度或者角速度,同时还可以描述电量,温度等。在讲更多之前,我们先申明一点,坐标对时间的导数我们称之为速度,通常用$\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$来表示,在物理中我们还可以写成 $\dot{x}$。欧克,广义坐标就讲完了,实际上不难,只是将坐标的所属范围扩大了。

Part 2: 基本假设

2.1 拉格朗日量

      每个力学系统都有一个“拉格朗日量”,例如,一个小球在竖直平面内,用 xy来描述它的位置,考虑一个沿 y 方向的重力场,那么该小球的拉格朗日量为:

$L=\frac{1}{2}m\left ( \dot{x}^{2}+\dot{y}^{2} \right )-mgy$

      乍一看,有没有很像牛顿力学中的动能。再来一个更像的,自由粒子的拉格朗日量为:

$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}$

      这是不是就更像动能了。这里说一个趣事,大家在学牛顿力学的时候,在研究问题时是不是需要画很多图,但是,在拉格朗日发表理论力学的教材的时候,他在前言中写道:理论力学的研究,我们不需要画图,我们只需要一个优秀的数理基础,就能够解决一切问题。

2.2 变分:拉格朗日方程

      假设一个系统只有一个坐标 q,其速度为$\dot{q}$,已知在 t1 时刻坐标为 q1,在 t2 时刻坐标为 q2,定义一个作用量:$S=\int_{t_{1}}^{t_{2}}L\left ( q\left ( t \right ),\dot{q}\left ( t \right ) \right )dt$,只需保证q(t1) = q1q(t2) = q2。这其实就有点像路程和位移之间的关系,我管你怎么动,反正起始点和终点是那个即可,我们暂且称这些运动为奇怪的运动。

      由此,我们引出拉格朗日力学的第二基本假设:在这些奇怪的运动中,真正的运动算出的 S 是一个极小值,用数学表达就是 δS = 0,其中这个 δS = 0就是大名鼎鼎的变分原理。接下来我从变分原理入手推导一下拉格朗日方程,先申明一点,此处的 δ 表示变分,但其作用实际上和求导差不多,暂且认为它与积分、求导满足交换律。来吧,前方高能,不适者请自动跳过。

  $\delta S = \delta \int_{t_{1}}^{t_{2}}L\left ( q\left ( t \right ),\dot{q}\left ( t \right ) \right )dt$

  $= \int_{t_{1}}^{t_{2}}\delta L\left ( q\left ( t \right ),\dot{q}\left ( t \right ) \right )dt$
  $= \int_{t_{1}}^{t_{2}}\left ( \frac{\partial L}{\partial q}\delta q+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta \dot{q} \right )dt$

  $= \int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{\partial L}{\partial q}\delta qdt + \int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta \frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} t}dt$

  $= \int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{\partial L}{\partial q}\delta qdt + \int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \left ( \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\delta q \right )dt$

      对后一项进行分部积分,即:

  $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left ( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta q \right ) = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left ( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right )\delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\left ( \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\delta q \right )$

  等号两边同时积分并移项可得:

  $\int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\left ( \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\delta q \right )dt = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left ( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta q \right )dt - \int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left ( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right )\delta qdt$

  $= \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta q - \int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left ( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right )\delta qdt$

  由于 δq = 0,因此:$\delta S = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\left ( \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right )\delta qdt$

  要让 δS = 0,那么$\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = 0$

  该式便是大名鼎鼎的拉格朗日运动方程。

 

 

 

 

 

标签:基本,right,frac,广义坐标,假设,partial,left,dot,mathrm
From: https://www.cnblogs.com/ggg-327931457/p/16632981.html

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