第二章 随机变量及其分布
一、定义
1、随机变量
定义：随机变量 \(X\) 是定义在随机试验样本空间 \(S=\{e\}\) 上的单实值函数，记为 \(X=X(e)\)
笔记：随机变量是为了数值化表示，这样更方便数学研究。\(X\) 相当于样本空间，\(x\) 相当于样本点。
2、分布律和概率分布密度
离散型随机变量X的所有可能取值为 \(x_k (k=1,2,3,...)\) ，X取到各个可能值的概率 \(P(X=x_k)=p_k\) ，称为随机变量X的概率论分布，也叫分布律。
举例：骰子每面发生的概率
连续型随机变量X，在任意位置的概率，若为 \(f(x)=P(X=x)\)，则称 \(f(x)\) 为随机变量X的概率分布密度。
举例：你7:00-9:00起床的概率
3、分布函数
若 \(F(X) = P(X<=x)\)，称随机变量X的分布函数。分布函数表示将随机变量X<=x的所有取值的概率相加。
分布函数和概率密度的关系：
- \(F(x_2) - F(x_1) = \int_{x_1}^{x_2} f(x) dx = P(x_1 <= X <= x_2)\)
- \(F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt\)
笔记：分布函数、概率密度 都是为了更方便研究，从不同角度定义的两个函数。
二、离散型随机变量及其分布
1、0-1分布
随机试验的结果只有两个，随机变量X只有两个可能取值0或1，其分布律可以写成：
也可以写成：
2、二项分布
只有两个结果的随机试验成为伯努利试验，独立重复n次，称为n重伯努利试验。（0-1分布是一次伯努利试验）
假设单独一次试验A发生的概率为p，我们把n重伯努利试验中A发生的次数，这个随机变量服从的分布称为二项分布，记 \(B(n,p)\)
3、泊（po）松分布
泊松分布（Poisson distribution）适合于描述单位时间（空间）内随机事件发生的次数。如加油站一个小时内到达的车辆数，一个医院一天内出生的新生儿的数量等等。
泊松分布的分布律：
其中 \(\lambda > 0\) 是一个常数，表示单位时间（空间）内随机事件发生的平均次数。\(X \sim P(\lambda)\) 表示随机变量X服从参数为 \(\lambda\) 的泊松分布。
泊松定理：
设 \(\lambda > 0\) 是一个常数，n是任意正整数，设 \(np_n = \lambda\)，则对于任一固定的非负整数k有
三、连续型随机变量及其概率密度
1、均匀分布
若连续型随机变量X具有概率密度
则称随机变量X服从均匀分布，记 \(X \sim U(a, b)\) 。X的分布函数为
2、指数分布
若连续型随机变量X具有概率密度
其中 \(\theta > 0\) 为常数，则称X服从指数分布，记 \(X \sim E(\lambda)\) 。 X的分布函数为：
笔记：
- 泊松分布：医院一天内出生新生儿的数量，\(\lambda\)表示一天内平均出生的数量
- 指数分布：两个新生儿出生的时间间隔