数理统计笔记

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由于学校的概率论与数理统计课有些一言难尽，开始在这里自学书上后面的数理统计部分的知识。

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1. 基本概念

数理统计学中，我们通常将研究的对象叫做总体，而组成总体的基本单元称为个体，我们认为一个随机变量为一个总体，总体的 \(n\) 个测量结果 \((x_1, x_2, \cdots, x_n)\) 为一个随机向量 \((X_1, X_2, \cdots, X_n)\) 的观察值。其中随机向量的每个分量都是随机且独立的。

设 \((X_1, X_2, \cdots, X_n)\) 是一个 \(n\) 维随机向量，且 \(X_i\,(i = 1, 2, \cdots, n)\) 与 \(X\) 同分布且相互独立，则称这个随机向量为 \(X\) 的一个简单随机样本，简称样本，称 \(n\) 为样本空间。

显然由于独立性，若 \(X\) 的密度函数为 \(f(x)\)，则 \((X_1, X_2, \cdots, X_n)\) 的联合密度函数为：

\[g(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \prod_{i = 1}^n f(x_i) \]

同理，若 \(X\) 的分布函数为 \(F(x)\)，则 \((X_1, X_2, \cdots, X_n)\) 的联合分布函数为：

\[G(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \prod_{i = 1}^n F(x_i) \]

通常我们希望通过一组数据得出一些信息，所以我们定义统计量，即设 \((X_1, X_2, \cdots, X_n)\) 是总体 \(X\) 的一个样本，函数 \(T(X_1, X_2, \cdots, X_n)\) 是未知量 \(x_1, x_2, \cdots, x_n\) 一个不含未知量的参数的函数，则称 \(T(X_1, X_2, \cdots, X_n)\) 是一个统计量。如果将样本值代入函数，那么就称这个函数值为统计量的观察值。

常用统计量有：

• 样本均值：

\[\bar{X} = \dfrac{1}{n} \sum_{i = 1}^n X_i \]

• 样本方差：

\[S^2 = \dfrac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^n (X_i - \bar{X}) \]

同样，也有标准差：\(s = \sqrt{\dfrac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^n \limits (X_i - \bar{X})}\)。

• 样本矩：

样本 \(k\) 阶原点矩为：

\[A_k = \dfrac{1}{n} \sum_{i = 1}^n X_i^k \]

样本 \(k\) 阶中心矩为：

\[B_k = \dfrac{1}{n} \sum_{i = 1}^n (X_i - \bar{X})^k \]

可以看到：

\[A_1 = \bar{X}, B_2 = \dfrac{n - 1}{n} S^2 \]

注意到样本方差的定义与离散随机变量方差的定义之中，两个定义的分母不同，这是因为这样定义可以使得 \(E(S^2) = D(X)\)，我们将在估计量的无偏性这个知识点处证明这一点。

而且由于辛钦大数定律，我们可以证明，如果 \(X\) 的 \(k\) 阶原点矩存在，\(E(X^k) = \mu_k\)，则样本原点矩依概率收敛于 \(\mu_k\)。

设 \(X\) 是一个随机变量，\(\alpha\) 为满足 \(0 < \alpha < 1\) 的实数，若数 \(x_{1 - \alpha}\) 满足

\[P\{X \le x_{1 - \alpha}\} = 1 - \alpha \]

则称 \(x_{1 - \alpha}\) 为 \(X\) 的上 \(\alpha\) 分位数，简称分位数，或分位点，或临界值。

如果数 \(x_{\alpha}\) 满足

\[P\{X \le x_{\alpha} \} = \alpha \]

则称 \(x_{\alpha}\) 为 \(X\) 的下 \(\alpha\) 分位数。

对于标准正态分布变量 \(X \sim N(0, 1)\)，上 \(\alpha\) 分位数记作 \(u_{1 - \alpha}\)，显然有：

\[\Phi(u_{1 - \alpha}) = 1 - \alpha \\ u_{\alpha} = -u_{1 - \alpha} \]

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