二项分布
基本概念
n次伯努利实验正好出现k次成功的概率为：
\[b(k;n,p) = \binom{n}{k}p^kq^{n-k},k=0,1,2,...,n \]其他性质上篇已经讲了，这里说新的。
首先是中心项与最可能成功次数。\(b(k;n,p)\)最大的项被称之为中心项，对应的k称为最可能成功次数（注意可能有两个k）。记m为最可能成功次数，则有：
应用
常见应用：验收时产品抽样
抽n件产品进行检验，当废品数小于c时，接受该批次产品，否则拒绝。由于抽样的随机性，任何验收方案都可能犯两类错误：一是拒收一批合格品，二是接受一批不合格品。前者为生产者风险，后者为消费者风险。我们力求两个风险都减少。
为了刻画验收方案的性能，一般引进\(L(p)\)，表示当废品率为p时接受该批次产品的概率。若以p为横坐标，\(L(p)\)为纵坐标作图，则所得的曲线称为抽样特性曲线，简称OC曲线。问题归结为找n和c，使得：
\(\alpha\) ，\(\beta\)按需给定。前者衡量生产者风险，越小生产者风险越小；后者衡量消费者风险，越小消费者风险越小。如图更易理解：
泊松分布
泊松分布基本性质
二项分布肉眼可见地难算。n稍微一大，就可能再也无法用计算机算出来精确值。为了解决这个问题，柏松找到了一个近似的公式。泊松分布是离散分布，各样本点概率如下：
\[P_\lambda(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},k=0,1,2.... \]下面说明为什么
\[\lim_{n \rightarrow \infty} b(k;n,p) =\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \]记\(\lambda=np\)，则
\[b(k;n,p)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} = \frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}\frac{\lambda^k}{n^k}(1-\lambda/n)^{n-k} \]然后可处理为：
\[\frac{\lambda^k}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})...(1-\frac{k-1}{n})(1-\frac{\lambda}{n})^{n-k} \]我们易得：
\[\lim_{n \rightarrow \infty}(1-\lambda/n)^{n-k}=e^{-\lambda} \]以及
\[\lim_{n \rightarrow \infty}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})...(1-\frac{k-1}{n})=1 \]从而可得：
\[\lim_{n \rightarrow \infty} b(k;n,p) =\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \]期望与方差
首先是期望。
\[E(X) = \sum^{\infty}_{k=1}\lambda^k/(k-1)!e^{-\lambda} = \lambda\sum^{\infty}_{k=1}\lambda^{k-1}/(k-1)!e^{-\lambda} =\lambda \]总之不难。
然后是方差。与前面求二项分布的那个类似，易得：
应用
应用中，一般当p小于0.1时可以用泊松分布。现在泊松分布的应用越来越广，且已经离原来引用的初衷越来越远。
生活中许多随机现象是服从泊松分布的。比如社会生活，比如物理学中。对泊松分布进行深入研究后，还发现其具有很多特殊性质，其似乎是是许多随机现象的基础。
泊松过程
引理
柯西定理
若\(f(x)\)连续或单调，且对任意\(x\),\(y\)都有
则
\[f(x) = a^x \]柏松过程
定义：一个计数过程 \(\left\{ {N(t),t \geqslant 0} \right\}\)是泊松过程，则其具有参数 \(\lambda\)， \(\lambda >0\)，且满足以下条件：
（i）\(N(0)=0\)；
（ii）过程具有独立增量，即在不相交的时间区间内，事件发生的个数是相互独立的；
（iii）在任一长度为 t的时间区间内，事件发生的个数服从均值为 $ \lambda t$的泊松分布，即对任意 \(s , t ⩾ 0\)有
典型应用：
记电话呼叫数。