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[ 【基础过关系列】高二数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019）]
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选择性第二册同步巩固，难度2颗星！
基础知识
平均变化率
若某个问题中的函数关系用\(f(x)\)表示，可用式子 \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}\)表示函数\(f(x)\)从\(x_0\)到\(x_0+∆x\)的平均变化率.
【例】 函数\(f(x)=x^2\)在区间\([-1 ,2]\)上的平均速度为\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)}=\dfrac{4-1}{3}=1\)．
它与斜率\(k_{A B}\)相等.
瞬时变化率
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
导数概念
函数\(f(x)\)在\(x=x_0\)处的瞬时变化率是
\(\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}\)
则称它为函数\(y=f(x)\)在\(x=x_0\)处的导数，记作\(f'(x_0)\)或\(\left.y^{\prime}\right|_{x=x_0}\)，即
\(f^{\prime}\left(x_0\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}\)
【例1】 已知\(f'(x)\)是\(f(x)\)的导函数，则 \(\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\)( )
A．\(f'(1)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(f(1)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(f(∆x)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(f'(∆x)\)
答案 \(A\)
【例2】 一质点运动的方程为\(s(t)=t^2\)，则质点在\(t=2\)时的瞬时速度是 .
解 质点在\(t=2\)时的瞬时速度 \(s^{\prime}(2)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{s(2+\Delta x)-s(2)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{(2+\Delta x)^2-4}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}(\Delta x+4)=4\).
导函数
若当\(x\)变化时，\(f'(x)\))是\(x\)的函数，则称它为\(f(x)\)的导函数(简称导数)，记作\(f'(x)\)或\(y'\)，即
\(f^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\)
【例】 若\(f(x)=x^2\)，求\(f(x)\)的导函数\(f'(x)\).
解 \(f^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=f^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}(\Delta x+2 x)=2 x\).
导数的几何意义
函数\(y=f(x)\)在点\(x=x_0\)处的导数的几何意义是曲线\(y=f(x)\)在点\(P(x_0 ,f(x_0))\)处的切线的斜率，即：曲线\(y=f(x)\)在点\(P(x_0 ,f(x_0))\)处的切线l的斜率\(k=f'(x_0)\)，切线\(l\)的方程为\(y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\)．
【例】 求曲线\(y=x^2\)在点\((1,1)\)处的切线方程.
解 切线方程的斜率为 \(k=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{(1+\Delta x)^2-1^2}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{\Delta x^2+2 \Delta x}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}(\Delta x+2)=2\)，
切线方程为\(y-1=2(x-1)\)，化简为\(2x-y-1=0\).
基本方法
【题型1】 导数概念的理解
【典题1】 函数\(f(x)=x\),\(f(x)=x^2\)在\([0,1]\)的平均变化率分别记为\(k_1\),\(k_2\)，则下面结论正确的是( )
A．\(k_1>k_2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(k_1<k_2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(k_1=k_2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(k_1\),\(k_2\)大小关系不能确定
解析 根据题意可得 \(k_1=\dfrac{f(1)-f(0)}{1-0}=1\)， \(k_2=\dfrac{f(1)-f(0)}{1-0}=1-0=1\)，故为\(k_1=k_2\)，
故选：\(C\)．
点拨 用式子 \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}\)表示函数\(f(x)\)从\(x_0\)到\(x_0+∆x\)的平均变化率.
【典题2】已知\(f'(x)\)是\(f(x)\)的导函数，且\(f'(1)=3\)，则 \(\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{f(1)-f(1+2 \Delta x)}{\Delta x}=\)( )
A．\(3\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(6\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(-6\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D． \(-\dfrac{3}{2}\)
解析 \(\because f'(1)=3\)，
\(\therefore \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{f(1)-f(1+2 \Delta x)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{-2[f(1+2 \Delta x)-f(1)]}{2 \Delta x}\)\(=-2 \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{f(1+2 \Delta x)-f(1)}{2 \Delta x}=-2 f^{\prime}(1)=-6\)，
故选：\(C\)．
点拨 函数\(y=f(x)\)在\(x=x_0\)处的导数 \(f^{\prime}\left(x_0\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}\).
【典题3】一物体做直线运动，其位移\(s\)(单位：\(m\))与时间\(t\)(单位：\(s\))的关系是\(s=4t+2t^2\)，则该物体在\(t=3s\)时的瞬时速度是( )
A.\(30m/s\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(16m/s\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(12m/s\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(10m/s\)
解析 \(\because s=4t+2t^2\)，
\(\therefore s^{\prime}(3)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{s(3+\Delta x)-s(3)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{2 \Delta x^2+16 \Delta x}{\Delta x}\)\(=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}(2 \Delta x+16)=16\)，
故选：\(B\)．
【巩固练习】
1.某物体做自由落体运动的位移\(s(t)= \dfrac{1}{2} gt^2\)，\(g=9.8m/s^2\)，若\(\dfrac{s(1+\Delta t)-s(1)}{\Delta t}=24.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\)，则\(24.5m/s\)是该物体( )
A.从\(1s\)到\((1+Δt)s\)这段时间的平均速度 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.从\(0s\)到\(1s\)这段时间的平均速度
C.在\(t=1s\)这一时刻的瞬时速度 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.在\(t=Δts\)这一时刻的瞬时速度
2.某物体做自由落体运动的位移\(s(t)= \dfrac{1}{2} gt^2\)，\(g=9.8m/s^2\)，若 \(\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \dfrac{s(1+\Delta t)-s(1)}{\Delta t}=9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\)，则\(9.8m/s\)是该物体( )
A．从\(0 s\)到\(1 s\)这段时间的平均速度 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．从\(1 s\)到\((1+∆t)s\)这段时间的平均速度
C．在\(t=1 s\)这一时刻的瞬时速度 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．在\(t=∆t s\)这一时刻的瞬时速度
3.设函数\(f(x)\)可导，则\(\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\)( )
A．\(-f'(x)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(f'(x)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(-f'(1)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(f'(1)\)
4.函数\(y=f(x)\)在区间\((a,b)\)内可导，且\(x_0∈(a,b)\)，若\(\lim _{h \rightarrow 0} \dfrac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0-h\right)}{h}=2\)，则\(f'(x_0)=\)( )
A．\(f'(x_0)=1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(f'(x_0)=2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(f'(x_0)=4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(f'(x_0)\)不确定
5.已知自由落体运动的方程为\(s= \dfrac{1}{2} gt^2\) (\(g\)为常数)，求：
(1)落体在\(t_0\)到\(t_0+d\)这段时间内的平均速度；
(2)落体在\(t=10s\)这一时刻的瞬时速度．
6.在高台跳水运动中, \(ts\)时运动员的重心相对于水面的高度(单位: \(m\) )是\(h(t)=-4.9t^2+4.8t+11\). 高度\(h\)关于时间\(t\)的导数是速度\(v\),速度\(v\)关于时间\(t\)的导数\(v'\)的物理意义是什么? 试求\(v\),\(v'\)关于时间\(t\)的函数解析式.
参考答案
-
答案 \(A\)
-
答案 \(C\)
解析 根据题意， \(\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \dfrac{s(1+\Delta t)-s(1)}{\Delta t}=9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\)，则有 \(s^{\prime}(1)=9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\)，
即物体在\(t=1s\)这一时刻的瞬时速度为 \(9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\)，
故选：\(C\)． -
答案 \(D\)
解析 因为函数\(f(x)\)可导，所以 \(\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=f^{\prime}(1)\)，故选：D． -
答案 \(A\)
解析 \(\lim _{h \rightarrow 0} \dfrac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0-h\right)}{h}=2\)，则\(2 \lim _{h \rightarrow 0} \dfrac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0-h\right)}{2 h}=2\)，
即 \(\lim _{h \rightarrow 0} \dfrac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0-h\right)}{2 h}=1=f^{\prime}\left(x_0\right)\)，
故选：\(A\)． -
答案 (1) \(gt_0+ \dfrac{1}{2} gd\)； (2) \(10g\).
解析 (1)落体在\(t_0\)到\(t_0+d\)段时间内的平均速度是 \(\dfrac{\Delta s}{\Delta t}=\dfrac{\dfrac{1}{2} g\left(t_0+d\right)^2-\dfrac{1}{2} g t_0^2}{d}=g t_0+\dfrac{1}{2} g d\)；
(2)落体在\([10，10+Δt]\)这段时间的平均速度是 \(\dfrac{\Delta s}{\Delta t}=\dfrac{\dfrac{1}{2} g(10+\Delta t)^2-\dfrac{1}{2} g \cdot 10^2}{\Delta t}=10 g+\dfrac{1}{2} g \Delta t\)，
当\(Δt\)无限趋近于\(0\)时，平均速度趋近于\(10g\)，
所以落体在\(t=10s\)这一时刻的瞬时速度时\(10g\). -
答案 速度\(v\)关于时间\(t\)的导数\(v'\)的物理意义是加速度，\(v=-9.8t+4.8\)，\(v'= -9.8\).
解析 速度\(v\)关于时间\(t\)的导数\(v'\)的物理意义是加速度，
\(v=h^{\prime}(t)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{h(t+\Delta t)-h(t)}{\Delta t}\)\(=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{\left[-4.9(t+\Delta t)^2+4.8(t+\Delta t)+11\right]-\left(-4.9 t^2+4.8 t+11\right)}{\Delta t}\)
\(=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}(-4.9 \Delta t-9.8 t+4.8)=-9.8 t+4.8\)，
\(∴v=-9.8t+4.8\)， \(v^{\prime}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{[-9.8(t+\Delta t)+4.8]-(-9.8 t+4.8)}{\Delta t}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}(-9.8)=-9.8\)，
\(\therefore v'=-9.8\).
【题型2】 导数的几何意义
【典题1】 某堆雪在融化过程中，其体积V(单位：\(m^3\))与融化时间\(t\)(单位：\(h\))近似满足函数关系 \(V(t)=H\left(10-\dfrac{1}{10} t\right)^3\) (\(H\)为常数)，其图象如图所示，记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为\(\bar{v}\)(单位：\(m^3/h\))，\(t_1\)，\(t_2\)，\(t_3\)，\(t_4\)时刻的瞬时融化速度分别为\(v_1\)，\(v_2\)，\(v_3\)，\(v_4\)(单位：\(m^3/h\))，那么下列各式正确的是( )
A. \(v_1<\bar{v}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \(v_2>\bar{v}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(v_3+\bar{v}>0\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(v_4+\bar{v}<0\)
解析 根据题意，\(\bar{V}=\dfrac{V(100)-V(0)}{100-0}\)，反映的是\(v(t)\)图象与坐标轴交点连线的斜率，
瞬时融化速度分别为\(v_1\)，\(v_2\)，\(v_3\)，\(v_4\)分别是函数图象在\(t_1\)，\(t_2\)，\(t_3\)，\(t_4\)四点处切线的斜率，
必有\(v_1<\bar{v}\)， \(v_4+\bar{v}<0\)，
故选：\(AD\)．
【典题2】已知曲线 \(f(x)=\dfrac{1}{x^2}\)上一点\(P(1,f(1))\)，用导数的定义求在点\(P\)处的切线方程．
解析 \(\because f(1)=1\)，\(\therefore\) 切线过点\((1,1)\)，
又\(\because\)切线的斜率 \(k=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}\)\(=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{-\Delta x-2}{(1+\Delta x)^2}=-2\)，
\(\therefore\)切线方程为\(y-1=-2(x-1)\)，化简得\(2x+y-3=0\).
【巩固练习】
1.已知函数\(f(x)\)的图象如图，设\(f'(x)\)是\(f(x)\)的导函数，则\(f'(x_A)\)与\(f'(x_B)\)的大小关系正确的是( )
A．\(f'(x_A)>f'(x_B)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(f'(x_A)<f'(x_B)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(f'(x_A)=f'(x_B)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(f'(x_A)\)与\(f'(x_B)\)的大小关系不确定
2.已知函数\(y=f(x)\)的部分图象如图所示，且\(f'(x)\)是\(f(x)\)的导函数，则( )
A.\(f^{\prime}(-1)=f^{\prime}(-2)<0<f^{\prime}(1)<f^{\prime}(2)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \(f^{\prime}(2)<f^{\prime}(1)<0<f^{\prime}(-1)=f^{\prime}(-2)\)
C. \(0>f^{\prime}(2)>f^{\prime}(1)>f^{\prime}(-1)=f^{\prime}(-2)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D. \(f^{\prime}(2)<f^{\prime}(1)<0<f^{\prime}(-2)<f^{\prime}(-1)\)
3.已知函数\(f(x)\)的图象如图，设\(f'(x)\)是\(f(x)\)的导函数，则( )
A．\(f' (2)<f' (3)<f(3)-f(2)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(f' (3)<f' (2)<f(3)-f(2)\)
C．\(f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(f' (3)<f(3)-f(2)<f'(2)\)
4.若\(\lim _{x \rightarrow 2} \dfrac{f(5-x)-3}{x-2}=2\)，\(f(3)=3\)，\(f(x)\)在\((3,f(3))\)处切线方程为\(\underline{\quad \quad}\).
5.求曲线\(f(x)=3x^2-x\)在点\((1,f(1))\)处的切线方程.
参考答案
-
答案 \(A\)
解析 由导数的几何意义可得，则\(f'(x_A)\)与\(f'(x_B)\)分别为\(A\)，\(B\)处的切线斜率，
结合图象可知，\(f'(x_A)>f'(x_B)\)，故选：\(A\)． -
答案 \(B\)
解析 由函数图象可知，当\(x≤0\)时，函数\(y=f(x)\)匀速递增，
故\(f'(x)\)是一个大于\(0\)的常数，
当\(x≥0\)时，函数\(y=f(x)\)递减，且递减幅度越来越快，
\(\therefore f'(x)<0\)，且\(y=f'(x)\)单调递减，
则\(f' (2)<f' (1)<0<f' (-1)=f' (-2)\)，
故选：\(B\)． -
答案 \(D\)
解析 根据题意，由导数的几何意义：
\(f'(3)\)表示函数在\(x=3\)处切线的斜率，
\(f'(2)\)表示函数在\(x=2\)处切线的斜率，
\(f(3)-f(2)=\dfrac{f(3)-f(2)}{3-2}\)，为点\((2,f(2))\)和点\((3,f(2))\)连线的斜率，
结合图象可得：\(0<f' (3)<f(3)-f(2)<f'(2)\)，
故选：\(D\)． -
答案 \(2x+y-9=0\)
解析 \(\because \lim _{x \rightarrow 2} \dfrac{f(5-x)-3}{x-2}=2\)，
令\(△x=x-2\)，
\(\therefore \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{f(3-\Delta x)-f(3)}{\Delta x}=-\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{f(3-\Delta x)-f(3)}{-\Delta x}=-f^{\prime}(3)=2\)，
解得\(f'(3)=-2\)，即切线斜率\(k=-2\)，
又\(f(3)=3\)，\(\therefore\)切线过\((3,3)\)，
\(\therefore f(x)\)在\((3,f(3))\)处切线方程为\(y-3=-2(x-3)\)，
即\(2x+y-9=0\)． -
答案 \(5x-y-3=0\)
解析 \(\because f(1)=2\)，\(\therefore\) 切线过点\((1,2)\)，
又切线的斜率 \(k=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}\)\(=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{3(1+\Delta x)^2-(1+\Delta x)-2}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}(3 \Delta x+5)=5\)，
\(\therefore\) 切线方程为\(y-2=5(x-1)\)，化简得\(5x-y-3=0\).
分层练习
【A组---基础题】
1.函数\(f(x)=2x^2-1\)在区间\((1,1+∆x)\)上的平均变化率\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)等于( )
A．\(4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(4+2∆x\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(4+2(∆x)^2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(4x\)
2.已知物体做直线运动对应的函数为\(S=S(t)\)，其中\(S\)表示路程，t表示时间．则\(S'(4)=10\)表示的意义是( )
A.经过\(4s\)后物体向前走了\(10m\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.物体在前\(4\)秒内的平均速度为\(10m/s\)
C. 物体在第\(4\)秒时的瞬时速度为\(10m/s\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D. 物体在第\(4\)秒内向前走了\(10m\)
3.已知函数\(y=f(x)\)是可导函数，且\(f'(1)=2\)，则\(\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\)( )
A．\(\dfrac{1}{2}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(1\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(-1\)
4.函数\(y=f(x)\)的部分图象如图所示，则( )
A.\(f' (2)>0\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(f' (6)<0\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(f' (3)=0\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(f' (3)<0\)
5.吹气球时，记气球的半径\(r\)与体积\(V\)之间的函数关系为\(r(V)\)，\(r'(V)\)为\(r(V)\)的导函数．已知\(r(V)\)在\(0≤V≤3\)上的图像如图所示，若\(0≤V_1<V_2≤3\)，则下列结论正确的是( )
A. \(\dfrac{r(1)-r(0)}{1-0}<\dfrac{r(2)-r(1)}{2-1}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(r' (1)≤r' (2)\)
C. \(r\left(\dfrac{V_1+V_2}{2}\right)<\dfrac{r\left(V_1\right)+r\left(V_2\right)}{2}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.存在\(V_0∈(V_1，V_2 )\)， 使得 \(r^{\prime}\left(V_0\right)=\dfrac{r\left(V_2\right)-r\left(V_1\right)}{V_2-V_1}\)
6.(多选)一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离\(h\)(单位：\(m\))与时间\(t\)(单位：\(s\))之间的函数表达式为\(h(t)=2t^2+2t\).下列说法正确的是( )
A.前\(3s\)内球滚下的垂直距离的增量\(Δh=24m\)
B.在时间\([2，3]\)内球滚下的垂直距离的增量\(Δh=12m\)
C.前\(3s\)内球的平均速度为\(8m/s\)
D.在时间\([2，3]\)内球的平均速度为\(12m/s\)
7.已知函数\(f(x)\)是可导函数，且\(f'(a)=1\)，则\(\lim _{x \rightarrow a} \dfrac{f(2 x-a)-f(2 a-x)}{x-a}\)等于\(\underline{\quad \quad}\)．
8.函数\(f(x)\)的图象在\(x=2\)处的切线方程为\(2x+y-3=0\)，则\(f(2)+f'(2)=\) \(\underline{\quad \quad}\)．
- 一个质量为\(m=3kg\)的物体做直线运动，设位移\(y\)（单位：\(m\)）与时间\(t\)（单位：\(s\)）之间的关系为\(f(t)=1+t^2\)，并且物体的动能 \(E_k=\dfrac{1}{2} m v^2\)，则物体开始运动后第4s时的动能是\(\underline{\quad \quad}\) .
10.已知某质点的运动方程为\(s(t)=3t^2+2t+1\)(\(s\)的单位为\(m\)，\(t\)的单位为\(s\))．
(1)求从\(t=2s\)到\(t=(2+Δt)s\)的平均速度；
(2)求当\(Δt=0.1s\)时的平均速度；
(3)求当\(t=2s\)时的瞬时速度．
11.若一物体的运动方程为\(S=\left\{\begin{array}{l}
29+3(t-3)^2, \quad 0 \leq t<3 \\
3 t^2+2, \quad t \geq 3
\end{array}\right.\)(路程单位：\(m\)，时间单位：\(s\))．
求：(1)物体在\(t=3s\)到\(t=5s\)这段时间内的平均速度；
(2)物体在\(t=1s\)时的瞬时速度．
12.求曲线\(f(x)=x^2+2x-5\)在点\((2,f(2))\)处的切线方程.
参考答案
-
答案 \(B\)
解析 根据题意，函数\(f(x)=2x^2-1\)在区间\((1,1+∆x)\)上，
其平均变化率 \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{2(1+\Delta x)^2-1-\left(2 \times 1^2-1\right)}{1+\Delta x-1}=4+2 \Delta x\)，
故选：\(B\)． -
答案 \(C\)
解析 \(\because\) 物体做直线运动的方程为\(S=S(t)\)，
根据导数的物理意义可知，\(S(t)\)函数的导数是t时刻的瞬时速度，
\(\therefore S'(4)=10\)表示的意义是物体在第\(4s\)时的瞬时速度为\(10m/s\).
故选：\(C\)． -
答案 \(B\)
解析 根据题意， \(\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{1+\Delta x-1}=f^{\prime}(1)=2\)，
故选：\(B\)． -
答案 \(D\)
解析 由\(f(x)\)的图象可知\(f(x)\)在\([1，5]\)上单调递减，
所以由导数的几何意义可得，\(f'(3)<0\)，\(f'(2)<0\)，
而\(f'(6)\)的正负无法判断，
故选：\(D\)． -
答案 \(D\)
解析 \(A\)：设 \(\tan \alpha=\dfrac{r(1)-r(0)}{1-0}\)， \(\tan \theta=\dfrac{r(2)-r(1)}{2-1}\)，
由图得 \(\dfrac{\pi}{2}>\alpha>\theta>0\)，
所以\(\tan α>\tan θ\)，
所以 \(\dfrac{r(1)-r(0)}{1-0}>\dfrac{r(2)-r(1)}{2-1}\)，所以\(A\)错误；
\(B\)：由图得图像上点的切线的斜率越来越小，
根据导数的几何意义得\(r' (1)≤r' (2)\)，所以\(B\)错误；
\(C\)：设\(V_1=0\)，\(V_2=3\)，
\(\therefore r\left(\dfrac{V_1+V_2}{2}\right)=r\left(\dfrac{3}{2}\right)\)， \(\dfrac{r\left(V_1\right)+r\left(V_2\right)}{2}=\dfrac{r(3)}{2}\)，
由图得 \(r\left(\dfrac{3}{2}\right)>\dfrac{r(3)}{2}\)，所以\(C\)错误；
\(D\)： \(\dfrac{r\left(V_2\right)-r\left(V_1\right)}{V_2-V_1}\)表示\(A(V_1，r(V_1 ))\)，\(B(V_2，r(V_2 ))\)两点连线的斜率，
\(r' (V_0 )\)表示\(C(V_0，r(V_0 ))\)处切线的斜率，由于\(V_0∈(V_1，V_2 )\)，
所以可以平移直线\(AB\)使之和曲线相切，切点就是点\(C\)，所以\(D\)正确．
故选：\(D\)． -
答案 \(ABCD\)
解析 对于选项\(A\)，由已知可得：\(h(3)=24\)，
则前\(3s\)内球滚下的垂直距离的增量\(Δh=h(3)-h(0)=24m\)，即选项\(A\)正确；
对于选项\(B\)，由已知可得：\(h(2)=12\)，\(h(3)=24\)，在时间\([2，3]\)内球滚下的垂直距离的增量\(Δh=12m\)，即选项\(B\)正确；
对于选项\(C\)，由已知可得：\(h(3)=24\)，
则前\(3s\)内球的平均速度为 \(\dfrac{h(3)-h(0)}{3-0}=8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\)，即选项\(C\)正确；
对于选项\(D\)，由已知可得：在时间\([2，3]\)内球的平均速度为\(\dfrac{h(3)-h(2)}{3-2}=12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\)，
即选项\(D\)正确，
故选：\(ABCD\)． -
答案 \(3\)
解析 根据题意，函数\(f(x)\)中，\(f'(a)=1\)，
\(\lim _{x \rightarrow a} \dfrac{f(2 x-a)-f(2 a-x)}{x-a}=3 \times \lim _{x \rightarrow a} \dfrac{f(2 x-a)-f(2 a-x)}{(2 x-a)-(2 a-x)}=3 f^{\prime}(a)=3\)；
故答案为：\(3\)． -
答案 \(-3\)
解析 由已知切点在切线上，所以\(f(2)=-1\)，
切点处的导数为切线斜率所以\(f' (2)=-2\)，
所以\(f(2)+f' (2)=-3\)．
故答案为：\(-3\)． -
答案 \(96J\)
解析 物体开始运动后第\(4s\)时的速度是 \(\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \dfrac{f(4+\Delta t)-f(4)}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \dfrac{\Delta t^2+8 \Delta t}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0}(\Delta t+8)=8\)，
所以此时的动能为 \(E_k=\dfrac{1}{2} \times 3 \times 8^2=96J\). -
答案 (1)\(3Δt+14\) ；(2) \(14.3\)；(3) \(14\).
解析 (1)从\(t=2s\)到\(t=(2+Δt)s\)的平均速度为
\(\dfrac{\Delta s}{\Delta t}=\dfrac{s(2+\Delta t)-s(2)}{2+\Delta t-2}=\dfrac{3(2+\Delta t)^2+2(2+\Delta t)+1-17}{\Delta t}\)\(=\dfrac{3 \Delta t^2+14 \Delta t}{\Delta t}=3 \Delta t+14\)．
(2)当\(Δt=0.1s\)时的平均速度为\(3×0.1+14=14.3\)．
(3)当\(Δt→0\)时，则 \(\dfrac{\Delta s}{\Delta t} \rightarrow 14\)，
\(\therefore\)当\(t=2s\)时的瞬时速度为\(14\)． -
答案 (1) \(24m/s\)；(2) \(-12m/s\).
解析 (1)\(\because △t=5-3=2\)，\(△s=3×25+2-(3×9+2)=48\)，
\(\therefore \dfrac{\Delta s}{\Delta t}=\dfrac{48}{2}=24 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\)；
(2) \(\dfrac{\Delta s}{\Delta t}=\dfrac{s(1+\Delta t)-s(1)}{\Delta t}=\dfrac{29+3(1+\Delta t-3)^2-29-3(1-3)^2}{\Delta t}=3 \Delta t-12\)，
故物体在\(t=1\)时的瞬时速度为\(\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \dfrac{\Delta s}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0}(3 \Delta t-12)=-12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\). -
答案 \(6x-y-9=0\)
解析 \(\because f(2)=3\)，\(\therefore\) 切线过点\((2,3)\)，
又切线的斜率\(k=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}\)\(=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{\Delta x^2+6 \Delta x}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}(\Delta x+6)=6\)，
\(\therefore\)切线方程为\(y-3=6(x-2)\)，化简得\(6x-y-9=0\).
【B组---提高题】
1.2022年国际泳联世锦赛，中国队强势包揽本届世锦赛跳水项目全部13枚金牌，杨健以515.55的总分获男子十米台决赛金牌．若杨健在跳水运动过程中的重心相对于水面的高度\(h\)(米)与起跳后的时间\(t\)(秒)存在函数关系\(h(t)=-4.9t^2+4.8t+10\)，则他重心入水时的瞬时速度为( )米/秒
A.\(10.1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(-10.1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(14.8\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(-14.8\)
2.函数\(y=f(x)\)的图象如图所示，\(f'(x)\)是函数\(f(x)\)的导函数，则下列数值排序正确的是( )
A\(.2f' (4)<2f' (2)<f(4)-f(2)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(2f' (2)<f(4)-f(2)<2f' (4)\)
C.\(2f' (2)<2f' (4)<f(4)-f(2)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(f(4)-f(2)<2f' (4)<2f' (2)\)
3.航天飞机升空后一段时间内，第\(ts\)时的高度\(h(t)=5t^3+30t^2+45t+4\)，其中\(h\)的单位为\(m\)，\(t\)的单位为\(s\).
(1)\(h(0)\)，\(h(1)\)，\(h(2)\)分别表示什么？
(2)求第\(2s\)内的平均速度；
(3)求第\(2s\)末的瞬时速度．
参考答案
-
答案 \(D\)
解析 \(\because h(t)=-4.9t^2+4.8t+10=0\)，
\(\therefore t=2\)或 \(t=-\dfrac{50}{49}\)(舍去)，
\(\therefore h^{\prime}(2)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{h(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{-4.9 \Delta x^2-14.8 \Delta x}{\Delta x}\)\(=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}(-4.9 \Delta x-14.8)=-14.8\)，
故选：\(D\)． -
答案 \(B\)
解析 由图象可知 \(f'(x)\)在\((0，+∞)\)上单调递增
故\(f' (2)<(f(4)-f(2))/(4-2)<f' (4)\)，
即 \(2f' (2)<f(4)-f(2)<2f' (4)\)
故选：\(B\)． -
答案 (1) \(h(0)\)表示航天飞机发射前的高度； \(h(1)\)表示航天飞机升空后\(1s\)的高度；\(h(2)\)表示航天飞机升空后\(2s\)的高度；
(2)\(125(m/s)\)；(3) \(225m/s\).
解析 (1)\(h(0)\)表示航天飞机发射前的高度；\(h(1)\)表示航天飞机升空后\(1s\)的高度；
\(h(2)\)表示航天飞机升空后\(2s\)的高度；
(2)航天飞机升空后第\(2\)秒内的平均速度为 \(\bar{v}=\dfrac{h(2)-h(0)}{2-0}=\dfrac{5 \times 2^3+30 \times 2^2+45 \times 2+4-4}{2}=125(m/s)\)．
答：航天飞机升空后第\(2\)秒内的平均速度为\(125\)米/秒；
(3)航天飞机升空后在\(t=2\)时的位移增量与时间增量的比值为
\(v=\dfrac{h(2+\Delta t)-h(2)}{\Delta t}\)\(=\dfrac{5(2+\Delta t)^3+30(2+\Delta t)^2+45(2+\Delta t)+4-\left(5 \times 2^3+30 \times 2^2+45 \times 2+4\right)}{\Delta t}\)
\(=\dfrac{5(\Delta t)^3+60(\Delta t)^2+225(\Delta t)}{\Delta t}=5(\Delta t)^2+60(\Delta t)+225\)，
当\(△t\)趋向于\(0\)时，\(v\)趋向于\(225\)，因此，第\(2s\)末的瞬时速度为\(225m/s\).
答：航天飞机升空后第\(2\)秒末的瞬时速度为\(225\)米/秒．
【C组---拓展题】
1.(多选)小明从家里到学校行走的路程\(S\)与时间\(t\)的函数关系表示如图，记t时的瞬时速度为\(V(t)\)，区间\([0,t_1]\)，\([0,t_2]\)，\([t_1,t_2]\)上的平均速度分别为\(V_1\)，\(V_2\)，\(V_3\)，则下列判断正确的有( )
A.\(V_1<V_2<V_3\)
B. \(\dfrac{V_1+V_3}{2}>V_2\)
C.对于\(V_i (i=1，2，3)\)，存在\(m_t∈(0，t_2)\)，使得\(V(m_t)=V_1\)
D.整个过程小明行走的速度一直在加快
参考答案
- 答案 \(ABC\)
解析 由题意可知； \(V_1=\dfrac{S_0}{2 t_1}\)， \(V_2=\dfrac{S_0}{t_2}\)， \(V_3=\dfrac{S_0}{2\left(t_2-t_1\right)}\)，
由图像可知\(t_1<t_2\)且\(2t_1>t_2\)，因此 \(V_1=\dfrac{S_0}{2 t_1}<V_2=\dfrac{S_0}{t_2}\) ，\(t_2-2(t_2-t_1 )=2t_1-t_2>0\)，
所以\(t_2>2(t_2-t_1 )\)，因此 \(V_2=\dfrac{S_0}{t_2}<v_3=\dfrac{S_0}{2\left(t_2-t_1\right)}\) ，
此时\(V_1<V_2<V_3\)，故\(A\)正确；
由 \(V_1+V_3-2 V_3=S_0\left(\dfrac{1}{2 t_1}+\dfrac{1}{2\left(t_2-t_1\right)}-\dfrac{2}{t_2}\right)\)，
\(\dfrac{1}{2 t_1}+\dfrac{1}{2\left(t_2-t_1\right)}-\dfrac{2}{t_2}=\dfrac{\left(t_2-t_1\right)^2}{2 t_1 t_2\left(t_2-t_1\right)}>0\),
故\(\dfrac{V_1+V_3}{2}>V_2\)，故\(B\)正确；
由图像可知，直线与曲线的交点为 \(\left(t_1, \dfrac{S_0}{2}\right)\)，
故存在\(m_t∈(0，t_2)\)，使得\(V(m_i )=V_i\)，
即当\(m_i=t_1\)时，\(V(m_t)=V_1\)，故\(C\)正确；
\(t\)时刻的瞬时速度为\(V(t)\)，判断平均速度的快慢，可以看整个曲线在各点处的切线方程的斜率，由图像可知，当\(t=t_1\)时，切线方程的斜率最大，
故在此时，平均速度最快，故\(D\)不正确．
故选：\(ABC\)．