定理
当且仅当 \(p\) 是质数时, \((p-1)! \equiv -1 \pmod p\) 。
证明
首先对于 \(p < 5\) 时,直接证即可。
对于 \(p \ge 5\) ,分成以下几种情况:
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\(p\) 为合数但不为质数的平方,则 \(p\) 可以表示成 \(a\times b\) ,其中 \(a,b\) 都是 \(\le p\) 的不同的整数,在 \((p-1)!\) 中出现过,所以 \(ab | (p-1)!\) ,得 \((p-1)! \not\equiv -1 \pmod p\) ,定理成立。
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\(p\) 为质数的平方,设 \(p=t^2\) ,其中 \(t\) 是小于 \(p\) 的质数,\(\because p \ge 5\) , \(\therefore t \ge 3\) 。在 \(1\) 到 \(p-1\) 中,\(t\) 作为质因数出现在 \(t\), \(2t\), \(3t \dots t(t-1)\) 之中,共 \(t-1\) 个。\(\because t \ge 3\) ,\(\therefore t-1 \ge 2\) ,\(t^2|(p-1)!\) ,故 \((p-1)! \not \equiv -1 \pmod p\) ,定理成立。
最后一种情况: \(p\) 为质数。则 \((p-1)!=1 \times (p-1) \times [2 \times 3 \times \dots \times(p-2)]\)
\(\because\) \(p \ge 5\) 且 \(p\) 是质数, \(\therefore\) \(2\) 到 \(p-2\) 有偶数个数。假设其中有两个数在模 \(p\) 意义下的逆元相同,设这两个数为 \(a,b\) ,逆元为 \(t\) ,则可得:
\[at \equiv bt \equiv 1\pmod p \]则 \(p|t(a-b)\) ,\(\because\) \(a,b,t <p\) , \(\therefore p\not| t\) 且 \(p\not | (a-b)\) ,故 \(p\not |t(a-b)\) ,矛盾。故 \(2\) 到 \(p-2\) 中每个数的逆元各不相同。
再证 \(2\) 到 \(p-2\) 中每个数逆元不为自己,假设 \(k\) 的逆元是它本身,则有
\[k^2\equiv1\pmod p \]则 \(p|k^2-1\) ,因式分解变成 \(p|(k+1)(k-1)\) ,则 \(p|k+1\) 或 \(p|k-1\) ,解得 \(k=1\) 或 \(k=p-1\) ,都不在 \(2\) 到 \(p-2\) 的范围内,故 \(k\) 不存在。
\(\therefore\) \(2\) 到 \(p-2\) 中每个数模 \(p\) 意义下的逆元互不相同,且不为自己,同时也在 \(2\) 到 \(p-2\) 中,于是:
\[(p-1)!\equiv 1 \times (p-1) \times [2 \times 3 \times \dots \times(p-2)] \equiv p-1\equiv-1 \pmod p \]得证。
一些题目
注:这个网站可能打不开。
题意:这是一道提交答案题,\(p\) 为质数,设
\[S(p)=\displaystyle\sum_{1\le k<5}(p-k)! \bmod p \]求 \(\displaystyle\sum_{1 < p<10^8}S(p)\) , \(p\) 是质数。
思路:
我们可以把上面的式子在模 \(p\) 的意义下拆一下:
\[\sum_{1 \le k < 5}(p-k)! \equiv(p-5)! \times(1+(p-4) + (p-4)(p-3)+ (p-4)(p-3)(p-2) + (p-4)(p-3)(p-2)(p-1)) \pmod p \]看着复杂,但我们是在模 \(p\) 的意义下运算,所以每几个二次二项式的乘积对 \(p\) 取模相当于常数项对 \(p\) 取模,上式变为:
\[\sum_{1\le k < 5}(p-k)! \equiv (p-5)!(1-4+12-24+24) \pmod p \]\[\sum_{1\le k < 5}(p-k)! \equiv 9(p-5)! \pmod p \]我们希望 \((p-5)!\) 可以变为 \((p-1)!\) ,这样我们就能和威尔逊定理扯上关系了,于是:
\[\sum_{1\le k < 5}(p-k)! \equiv 9(p-1)! \div[(p-4)(p-3)(p-2)(p-1)] \pmod p \]\[\sum_{1\le i < 5}(p-k)! \equiv 9(p-1)! \div24 \pmod p \]\[\sum_{1\le i < 5}(p-k)! \equiv -9 \times 24^{-1} \pmod p \]于是只用求逆元即可,复杂度 \(O(n \log p)\) ,大概跑个几秒就出来了。
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