数论基础整除只在整数域上讨论。一般形式为\(a|b\)，叫做\(a\)能整除\(b\)。其性质在此不过多叙述。约数与整除相关。若\(a|b\)，则称\(b\)是\(a\)的倍数，\(a\)是\(b\)的约数。在具体问题中，如果没有特别说明，约数总是指正约数。最大公因数和最小公倍数即\((a,b

先直接从IMO2005预选赛C7开始看。问题：给定一个长度为\(n\)的序列\(a\)，保证\(n\mid(\suma_i)\)。证明存在两个排列\(\sigma\)与\(\tau\)，使得\(\sigma_i+\tau_i\equiva_i\pmodn\)。解：若存在一个序列\(a\)和其的一组解\((\sigma,\tau)\)，同时存在一个序列\(b

1阶1.1定义由欧拉定理可知，对于\(a\in\mathbb{Z},m\in\mathbb{N}^+\)，如果\(\gcd(a,m)=1\)，则\(a^{\varphi(m)}\equiv1\pmodm\)。因此满足同余式\(a^n\equiv1\pmodm\)的最小正整数\(n\)存在，这个\(n\)就被称为\(a\)模\(m\)的阶，记作\(\delta_m(a)\)。1.2性质

前置根据快速傅里叶变换，可以在\(\Theta(n\logn)\)的时间计算卷积。但是由于用到了复数及三角函数，具有精度误差，且不方便取模。于是考虑快速傅里叶变换在数论上的实现，避免了精度误差，支持了取模运算。引入概念原根：阶定义由欧拉定理可知，对\(a\in\mathbf{Z}，m\in\mathbf{N}^

可能是不知道什么学习笔记捏阶使得\(a^x\equiv1\pmodm\)的最小正整数\(x\)被称为\(a\)模\(m\)的阶，记作\(\delta_m(a)\)。由欧拉定理可知，\(a\perpm\)是\(\delta_m(a)\)存在的充要条件。证明充分性：若\(a\perpm\)，根据欧拉定理，\(x=\varphi(m)\)就是一个解，所以

前言在讲中国剩余定理的时候，没有系统性的讲一遍乘法逆元，所以有了这一期专栏。定义如果有一个线性同余方程\(ax\equiv1\pmod{p}\)，则称\(x\)为\(a\equivp\)的乘法逆元。记作\(a^{-1}\)。但是，只有当\(\gcd(a,p)=1\)时，乘法逆元才存在。求乘法逆元费马小定理如果\(\gc

多项式全家桶多项式求逆给定多项式\(f(x)\)，求\(f^{-1}(x)\)。首先，易知\[[x^0]f^{-1}(x)=([x^0]f(x))^{-1}\]假设已经求出\(f(x)\)在模\(x^{\lceil\frac{n}2\rceil}\)意义下的逆元\(f_0^{-1}(x)\)。\[f(x)f_0^{-1}(x)\equiv0\pmod{x^{\lceil\frac{n}2\rceil}}\\f(x)

什么是乘法逆元当有$a*x≡1\pmod{p}$时，则\(a\)是模$p$意义下的乘法逆元。费马小定理求逆元费马小定理$a≡a^{p-1}\pmod{p}$所以$a^{p-2}≡1\pmod{p}$求\(a^{p-2}\bmodp\)即可。当且仅当\(p\)为质数且\(a,p\)互质时可用。intksm(intx,

我们知道，扩展欧拉定理的内容如下：\[a^b\equiv\begin{cases}a^b&b<\varphi(m)\\a^{(b\bmod\varphi(m)+\varphi(m))}&b\ge\varphi(m)\end{cases}\pmodm\]但是又有多少人会它的证明呢？也许大佬们一看到就会证了，但是我刚刚才会，不得不说oi-wiki上的证明是真屎。首先第一种情况

更新日志2024/12/11：开工。概念同中国剩余定理，但模数两两不相同。求解。思路我们先考虑两个方程如何解决。\[\begin{cases}x\equivr_1\pmod{m_1}\\x\equivr_2\pmod{m_2}\end{cases}\\\Rightarrowx=m_1p+r_1=m_2q+r_2\\\Leftrightarrowm_1p-m_2q=r_2-r_1\]其中

更新日志2024/12/09：开工。概念就不写引入部分了，直接进入正题。中国剩余定理用来求解形如下式的方程的一组特解：\[\begin{cases}x\equivr_1\pmod{m_1}\\x\equivr_2\pmod{m_2}\\x\equivr_3\pmod{m_3}\\\dots\\x\equivr_n\pmod{m_n}\end{cases}\]其中\(m\)

更新日志2024/12/05：开工。2024/12/06：完工。公式对于一个质数\(p\)，其必然满足：\[\LARGE(p-1)!\equiv-1\pmodp\]那个\(!\)是阶乘不是\(\not\equiv\)证明首先同余式两边同时除以\(-1\)（必与\(p\)互质），得到：\[(p-2)!\equiv1\pmodp\]注：左侧去掉了\(p-1\)不难发现

更新日志2024/12/05：开工。公式若\(p\)为质数，则：\[\LARGEa^p\equiva\pmodp\]若同时满足\(\gcd(a,p)=1\)，则：\[\LARGEa^{p-1}\equiv1\pmodp\]证明欧拉定理快速证明我们先证明第二个形式：根据欧拉定理可得：\[a^{\varphi(p)}\equiv1\pmodp\\\because\varphi(p

在Lagrange之前，不妨先看看CRT。CRT问题\[\begin{cases}x\equivr_1\pmod{m_1}\\x\equivr_2\pmod{m_2}\\\vdots\\x\equivr_n\pmod{m_n}\end{cases}\]其中\(m_{1\simn}\)两两互质。解法定义\(e_i\)为满足\(e_i\equiv1\pmod{m_i}\)且对于任

模运算一般的，对于任意整数\(a,b\)，\(b>0\)。则有：\[a\bmodb=\begin{cases}a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\timesb,\quad&a\ge0\\-(-a\bmodb),\quad&a<0\\\end{cases}\]性质：\(\frac{a}{k}\bmodn=\frac{a\bmodkn}{k}\)。简证：原

License:CCBY-NC-SA4.0前言题目是暑假的时候某学校活动的题。由于自己啥都没学，因此下面的证明里可能有：不规范表述乱用符号证明不严谨等问题。发现问题欢迎指正。正文给定奇素数\(p\)满足\(p\equiv2\pmod3\)，且\(f(x)=x^3\bmodp\).证明：\(f\)是\(\mathb

果蔬商城管理系统：基于springboot+vue的农产品销售系统【技术栈】1.架构：B/S、MVC2.系统环境：windows/mac3.开发环境：IDEA2021.2，JDK1.8、Maven、Mysql,tomcat4.技术栈：java,Mysql,SprintBoot,vue,tomcat【功能模块】每个项目都有登陆功能，分普通用户，商家及管理员。具体功能

有几种方法可以实现在HTML页面中重新播放GIF图片：使用JavaScript重新加载GIF:这是最常见和最简单的方法。通过操作GIF的src属性，可以强制浏览器重新加载图像，从而重新开始动画。functionreloadGif(imgElement){imgElement.src=imgElement.src;}//HTML

目录一、前言二、方案概述三、技术创新1、动态图像分辨率优化2、硬件感知的系统优化3、令牌下采样4、模型量化与整体框架优化四、方案亮点五、性能展示1、宽松纵横比匹配效果2、不同基准测试中的表现3、部署效率评估六、应用场景1、智能语音助手2、图像识别与理解3、多

A显然每次完整地放完都是一个正方形，正方形的边长每次+2，初始值为1所以只需要check每天的块数是否是奇数的平方，然后再做前缀和即可B显然字母出现顺序不重要而出现次数重要，直接放桶并不考虑出现次数为0的数考虑多重集意义下的排列，设序列总长度为\(n\)，第\(i\)钟数出

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周末闲来无事，这里主要是对《GPT-4TechnicalReport》一文的阅读记录，感兴趣的话可以参考一下，如果想要阅读原论文的话可以来这里，如下所示：摘要我们报告了GPT-4的开发情况，这是一个大规模的多模态模型，可以接受图像和文本输入并产生文本输出。尽管在许多现实世界场景中GPT-4的能

本系统（程序+源码+数据库+调试部署+开发环境）带论文文档1万字以上，文末可获取，系统界面在最后面。系统程序文件列表系统内容：科室信息,医生,用户,坐诊信息,挂号信息,用户咨询,取消挂号,就诊记录,医生排班开题报告内容一、研究背景与意义随着医疗技术的不断进步和信息化时代的

[BJDCTF2020]ZJCTF，不过如此1打开实例发现代码审计需要GET传入text和file参数，然后执行文件包含text需要读取到Ihaveadream文本，这边采用data流进行绕过?text=data://,Ihaveadream&file=next.php成功绕过，接下来进行file文件包含这边提示读取next.php，访问后无有效数据