线性代数拾遗（1）—— 行列式的三种公理化构造

• 在前文 ​​线性代数（1）—— 行列式​​中，我们已经对行列式有了比较直观的理解。

1. 行列式最初用于表示线性方程组的系数，其值可以用于判别齐次线性方程组的解情况，也可以用于计算一般线性方程组的通解
2. 可以从几何角度直观地表示行列式
3. 从几何和代数两个角度，都可以得出行列式的若干性质

• 下面我们首先补充一些离散数学中的概念，然后给出行列式的三种正统定义方式

文章目录

• ​​0. 符号规定和补充内容​​

• ​​0.1 群相关内容​​

• ​​0.1.1 补充定义​​
• ​​0.1.2 补充定理​​

• ​​0.2 符号说明​​

• ​​1. 第二公理化构造​​

• ​​1.1 从线性方程入手​​
• ​​1.2 一个猜测​​
• ​​1.3 行列式的第二公理化构造​​

• ​​2. 第一公理化构造​​

• ​​2.1 行列式的第一公理化构造​​
• ​​2.2 从第二公理化构造到第一公理化构造​​
• ​​2.3 行列式的解析展开式与逆序数定义​​

• ​​3. 第三公理化构造​​

• ​​3.1 余子式​​
• ​​3.2 行列式按某行（列）展开公式​​

0. 符号规定和补充内容

0.1 群相关内容

0.1.1 补充定义

1. ​​群​​​：是含有一个二元运算的代数系统，若满足以下条件，则称G是一个群

1. o运算满足结合律
2. 存在 是关于
3. 任何 ，关于 运算的逆元

2. ​​变换​​​和​​一一变换​​：设A是非空集合， 称为A上的一个变换。若 是双射的，则称 为A上的一个一一变换
3. ​​变换的乘法​​​：设是上的两个变换，则的函数合成（即先按变换，再按变换）称为与的乘积，记为
4. ​​一一变换群​​​：设 是上全体一一变换构成的集合，则 关于变换的乘法构成一个群，称为的一一变换群
5. ​​n元置换(σ)​​​：当是有穷集合时，上的一一变换称为上的​​置换​​。当时称上的变换为n元置换。为了叙述方便，常将记作 ，于是可以将上的n元置换记作
   
   易见，恰为的一个全排列，在A上的所有置换和A的所有全排列之间存在着一一对应，元集合有个元置换。
6. ​​n元对称群​​​和​​n元置换群(Sn)​​：元集合的所有个元置换的集合记作，它关于置换的乘法构成一个群，称为元对称群。的子群称为元置换群
7. ​​k阶轮换​​​：设，若将中的个元素进行如下变换：，而其他元素保持不变，可将记作，称为一个k阶轮换

1. ​​恒等置换​​：一阶轮换称为恒等置换，相当于不变
2. ​​对换​​​：二阶轮换称为对换，相当于交换两个数
   
   
   
   

8. ​​奇(偶)置换​​：可以表示为偶数个对换的乘积的置换叫做偶置换。 可以表示为奇数个对换的乘积的置换叫做奇置换。
9. ​​逆序数​​​：设 是 的一个排列，若，称是一个​​逆序​​。排列中逆序的总数称为逆序数

0.1.2 补充定理

1. 任何一个n元置换，可以表示为若干对换之积，这些对换是可以相交的，且表法不唯一。但是不同表法中对换个数的奇偶性是不变的
2. ，且，则在的对换表示中，对换的个数和排列的逆序数的奇偶性一致
   

0.2 符号说明

• 以下是构造中会用到的符号

1. 第二公理化构造

• 第二公理化构造和线性方程组比较贴近，我们从此起步

1.1 从线性方程入手

• 有以下三种初等变换，经过初等变换，线性方程组的解不变

1. ​​倍加​​：将某行的k倍加到另一行
2. ​​互换​​：互换某两行
3. ​​倍乘​​：给某行乘一非零数

• 引入矩阵、向量、矩阵乘法等概念后，线性方程组简化为，其中称为系数矩阵，我们可以完全平行地引入矩阵的初等变换
• 根据上文分析的克莱姆法则，系数矩阵所对应的系数行列式有一个优良性质：可以根据是否为0判断齐次线性方程组解的情况

1.2 一个猜测

• 现在假设我们不知道行列式的定义，希望找到一个映射关系，它可以把系数矩阵映射为一个实数，并且可以利用这个实数是否为0判断齐次线性方程组解的情况
• 如果真的存在上述映射，显然，在系数矩阵的初等变化下，是否为0的结果不能改变。这样的具体条件不一定唯一，但有一个可行的条件如下

1. 将某行的k倍加到另一行， 结果不变（​​​倍加​​）
2. 给某行乘一非零数k，结果也变为k倍（​​​倍乘​​）
3. 

由前两个条件可以推出：互换两行，结果反号（​​​互换​​），这个推导是简单的

• 可见，符合上述条件的，满足了在 “系数矩阵的初等变化下，是否为0的结果不变” 这一要求。至于第三条，规定为任何非零数都不影响，规定为1是简单的。
• 上面这三条条件，正是行列式的第二公理化构造，以此为定义，可以唯一确定行列式的展开表达式，即各大教材上的行列式逆序数定义式。

1.3 行列式的第二公理化构造

• 行列式是满足以下三条性质的函数

1. ，其中
2. 
3. 

2. 第一公理化构造

2.1 行列式的第一公理化构造

• 行列式是满足以下三条性质的函数

1. ​​斜对称性​​：互换两行，行列式反号
2. ​​多重线性​​​：
3. ​​正规化条件​​​：

2.2 从第二公理化构造到第一公理化构造

• 第一公理化构造可以由第二公理化构造推出，具体过程如下

1. 性质0（倍加）：，证明如下
   
   两边消去即可
2. 性质1（线性相关时，结果为0）：。重复使用性质0即可证明
4. 证明斜对称性



6. 证明多重线性：推导过程转载自：​​行列式的逆序数定义是怎么想出来的​​



7. 
   

2.3 行列式的解析展开式与逆序数定义

• 利用第一公理化构造，可以推出行列式的解析展开式
• 推导过程转载自：​​行列式的逆序数定义是怎么想出来的​​
• 在各大教材上常见到一种行列式的逆序数定义，如下
  
  其中代表求排列的逆序数，其实引入这个逆序数定义，就是为了确认置换的奇偶性，从而给出行列式公式里每项前面那个正负号

3. 第三公理化构造

• 对于阶数超过3的行列式，无法用交叉技巧求解，用逆序数法展开又太麻烦，这时就适用于从第三公理化构造的角度考虑。

3.1 余子式

2. 余子式：在n阶行列式中，划去元所在的第i行与第j列的元，剩下的元不改变原来的顺序所构成的n-1阶行列式称为元的余子式，记作，即



3. 代数余子式：余子式乘上后称为的代数余子式，记作，即
   
   显然也有
   

3.2 行列式按某行（列）展开公式

• 行列式的值等于行列式的某行（列）元素分别乘以其相应的代数余子式后再求和，即
  
  这样可以把一个n阶行列式转化为n个(n-1)阶行列式，实现降阶，直到最后可以用交叉技巧求解

• 行列式的某行（列）元素分别乘以另一行（列）元素的代数余子式后再求和，结果为0
  
  分析一下第一行的式子，使用第 行元素乘以第 行代数余子式，就相当于把原行列式中第 行内容替换为第 行内容，再按第