【小记】为啥行列式的绝对值等于体积

其实证明并不是很严谨（

我们要证明的是：

对于 \(n\) 个线性无关的 \(n\) 维向量 \(\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_n}\)，由它们能围成一个 \(n\) 维平行多面体 \(G=\{\sum_{i=1}^nk_i\vec{v_i}|k_i\in[0,1]\}\)。

记矩阵 \(A=\begin{bmatrix}\vec{v_1}&\vec{v_2}&\cdots&\vec{v_n}\end{bmatrix}\)。那么 \(G\) 的 “体积” \(V=\left|\det (A)\right|\)。

解释一下体积的定义，依据于下列两个结论：

• 若 \(\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_n}\) 两两垂直，则 \(V=\prod_{i=1}^n|\vec{v_i}|\)。

• 同底等高的平行多面体体积相等。

接下来是证明：

对 \(A\) 进行高斯消元，我们中间要进行两种操作：

• 交换两列。

• 一列加等于另一列的 \(k\) 倍。

这两种操作后 \(|\det(A)|\) 都不会改变，现在考虑证明经过这些操作后，\(A\) 所代表的 \(G\) 的体积不变。

• 交换两列：这甚至都不会改变 \(G\)。

• 一列加等于另一列的 \(k\) 倍：对应地就是让 \(\vec{v_i}\) 加等于 \(k\vec{v_j}\)（\(i\neq j\)）。下面该图展现了这个操作的几何意义：
  

  如图，\(\{\vec{v_k}\}_{k\neq i}\) 能围成了 \(n-1\) 维的平行多面体，这个平行多面体再沿 \(\vec{v_i}\) 平移即可得到初始的 \(G\)。

  而让 \(\vec{v_i}\) 加等于 \(k\vec{v_j}\) 就可以看成让让上面那个 \(n-1\) 维的平行多面体在它所在的 \(n-1\) 维空间内平移。

  那么此时上下两个 \(n-1\) 维的平行多面体间的距离（高）不会变，所以 \(G\) 的体积也不会变。

于是我们证明了，经过高斯消元后，行列式的绝对值和对应的 \(G\) 的体积都不会变。而此时矩阵变为对角矩阵，所代表的向量都是相互垂直的，于是此时行列式的绝对值等于 \(G\) 的体积。那么高斯消元前行列式的绝对值也等于 \(G\) 的体积。