线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵

标签：初等变换求逆初等矩阵可逆矩阵线性代数公式

参考：张宇高等数学基础30讲

文章目录

1. 矩阵的逆

1.1 逆矩阵的定义
1.2 逆矩阵性质与重要公式
1.3 用定义求逆矩阵
1.4 例题

2. 伴随矩阵

2.1 伴随矩阵的定义
2.2 伴随矩阵的定义与重要公式
2.3 用伴随矩阵求逆矩阵

3. 转置、伴随、逆矩阵、取行列式公式小结

3.1 嵌套
3.2 数乘
3.3 穿脱原则
3.4 交换操作顺序
3.5 操作后取行列式
3.6 只有转置可以直接去括号

4. 初等变换与初等矩阵

4.1 初等变换
4.2 初等矩阵
4.3 初等矩阵的性质与重要公式
4.4 用初等变换求逆矩阵
4.5 等价矩阵和矩阵的等价标准型

5. 矩阵求逆总结

5.1 普通矩阵求逆
5.2 分块矩阵求逆

6. 矩阵方程

1. 矩阵的逆

1.1 逆矩阵的定义

定义：设 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_逆矩阵$ 是n阶方阵， $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_转置_02$ 是n阶单位阵，若 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_伴随矩阵_03$ ，则称 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_逆矩阵_04$ 为 可逆矩阵，并称 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_线性代数_05$ 是 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_逆矩阵_04$ 的 逆矩阵，并称 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_线性代数_05$ 是 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_逆矩阵_04$ 的逆矩阵，且逆矩阵是唯一的，记作 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_线性代数_09$ 。注意逆矩阵是相互的，即有
$线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_线性代数_10$
$线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_逆矩阵_04$ 可逆的充要条件是 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_初等矩阵_12$ ，当 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_初等矩阵_12$ 时， $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_逆矩阵_04$ 可逆，且
$线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_转置_15$
其中 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_转置_16$ 是矩阵 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_逆矩阵_04$

1.2 逆矩阵性质与重要公式

欲利用定义法证明 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_线性代数_18$ ，只需证明 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_转置_19$ 即可，下面用此方法证明一些常用性质和公式。设 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_转置_20$

公式	证明
$线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_转置_15$

也可逆，且
也可逆，且

1.3 用定义求逆矩阵

定义法适用于求抽象矩阵的逆矩阵

方法	说明
依定义	即求一个矩阵，使得，则可逆，且
将	因为两个可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵，即若，其中均可逆，则可逆，且
一些简单分块矩阵的逆	若 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_逆矩阵$ 均是可逆方阵，则 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_逆矩阵$

1.4 例题

$线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_逆矩阵$ 均是n阶方阵，且 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_初等矩阵_45$ 。证明 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_伴随矩阵_46$ 可逆，并求 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_初等矩阵_47$
思路：用定义法，找 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_转置_48$ 乘以什么得 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_转置_02$
$线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_伴随矩阵_50$
其中倒数第二个等式 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_转置_51$ 成立就证明了 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_伴随矩阵_46$ 可逆。也可在此式两边取行列式，则有
$线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_逆矩阵_53$
设 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_逆矩阵$ 是同阶可逆矩阵，且 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_转置_55$ 是可逆矩阵，证明 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_逆矩阵_56$ 是可逆矩阵，并求 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_初等矩阵_57$
思路：用拆分法，找出可逆矩阵 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_转置_58$ 使得 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_线性代数_59$ ，则 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_逆矩阵_60$
$线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_初等矩阵_61$

2. 伴随矩阵

2.1 伴随矩阵的定义

定义：将行列式 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_伴随矩阵_62$ 的 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_线性代数_63$ 个元素的代数余子式按照如下形式（就是第 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_伴随矩阵_64$ 行元素的代数余子式写在第 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_伴随矩阵_64$ 列）排列成的矩阵称为 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_逆矩阵_04$ 的 伴随矩阵，记作 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_转置_16$ ，即
$线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_初等矩阵_68$

2.2 伴随矩阵的定义与重要公式

对任意 n 阶方阵 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_转置_69$ ，都有伴随矩阵 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_伴随矩阵_70$ ，且有公式

公式	证明
	可以用归纳法证明，给出一个2阶的例子，设，，则有

$线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_线性代数_77$	-

交换律
$线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_线性代数_77$

2.3 用伴随矩阵求逆矩阵

用伴随矩阵求逆矩阵，适用于求数值矩阵的逆矩阵

若 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_线性代数_79$ ，则 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_转置_80$ 可逆，且
$线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_逆矩阵_81$

例题：已知 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_伴随矩阵_82$ ，写出 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_逆矩阵_04$ 可逆的一个充要条件，并求 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_线性代数_09$
$线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_伴随矩阵_85$

3. 转置、伴随、逆矩阵、取行列式公式小结

现有n阶方阵 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_逆矩阵_04$ ，设以下公式中所需条件（比如要求 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_转置_87$ ）均满足

3.1 嵌套

相同操作嵌套小结

公式	证明
$线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_逆矩阵_04$	取一次行列式就变成一个数了，第二次操作失效
$线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_初等矩阵_89$	-
$线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_初等矩阵_89$	-
$线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_初等矩阵_89$	$线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_初等矩阵_89$

3.2 数乘

$线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_初等矩阵_89$ 为任意常数，有

公式	证明
	-
	-

3.3 穿脱原则

穿脱原则就是展开前后排列顺序相反

公式	证明
	-
	-
	-

3.4 交换操作顺序

求逆、求转置、求伴随，任意两个可以交换执行顺序

公式	证明

3.5 操作后取行列式

在转置、求逆、求伴随后取行列式
$线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_初等矩阵_111$

3.6 只有转置可以直接去括号

取行列式、求逆、求伴随都不能直接去括号
$线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_转置_112$

4. 初等变换与初等矩阵

4.1 初等变换

矩阵和线性方程组、行列式有着相同的初等变换

倍乘：一个非零常数乘矩阵的某一行（列）
互换：互换矩阵中某两行（列）的位置
倍加：将矩阵的某一行（列）的 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_初等矩阵_113$

以上三种操作称为矩阵的初等行（列）变换

4.2 初等矩阵

由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为 初等矩阵，三种初等变换对应了三种初等矩阵

倍乘初等矩阵 ： $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_线性代数_114$ 代表单位矩阵 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_伴随矩阵_115$ 的第 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_初等矩阵_116$ 行（列）乘以某非零常数 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_初等矩阵_113$ 得到的初等矩阵。以3阶矩阵为例：
$线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_初等矩阵_118$
互换初等矩阵： $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_线性代数_119$ 代表单位矩阵 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_伴随矩阵_115$ 的第 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_初等矩阵_116$ 行（列）与第 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_线性代数_122$ 行（列）互换所得的初等矩阵
$线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_初等矩阵_123$
倍加初等矩阵： $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_初等矩阵_124$ 代表单位矩阵 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_伴随矩阵_115$ 的第 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_线性代数_122$ 行的 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_初等矩阵_113$ 倍加到第 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_初等矩阵_116$ 行（或第 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_初等矩阵_116$ 列的 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_初等矩阵_113$ 倍加到第 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_线性代数_122$ 列）所得的初等矩阵。
$线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_逆矩阵_132$

4.3 初等矩阵的性质与重要公式

四条常用性质

初等矩阵的转置仍是初等矩阵
因为初等矩阵的行列式都不为零，故所有 初等矩阵都是可逆矩阵，且逆矩阵都是相同类型的初等矩阵
$线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_线性代数_133$
可逆矩阵可以表示为有限个初等矩阵的乘积，设 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_转置_80$ 是可逆矩阵，有
$线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_转置_135$ 其中 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_伴随矩阵_136$
对矩阵进行初等行变换，相当于矩阵左乘相应的初等矩阵；对矩阵进行初等列变换，相当于矩阵右乘相应的初等矩阵。例如，设 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_伴随矩阵_137$ ，要想把 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_转置_80$ 的第一行的-2倍加到第二行，就相当于 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_转置_80$ 左乘 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_线性代数_140$
$线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_转置_141$

重要推论：可逆矩阵一定可以经过有限次初等变换化为同阶单位矩阵。证明如下
$线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_伴随矩阵_142$
欲对任意可逆矩阵 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_转置_80$ 进行初等矩阵分解，可以反向操作，先通过初等变换将其转为 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_初等矩阵_144$ ，即找出 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_转置_145$ ，再得到分解结果 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_转置_146$
例题：现有矩阵 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_转置_147$ ， $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_初等矩阵_148$ ，求一个可逆矩阵 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_转置_149$ 使得 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_伴随矩阵_150$

显然，有 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_逆矩阵_151$ ， $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_初等矩阵_152$ ，因此 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_转置_80$ 不可逆，无法通过常规方法 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_初等矩阵_154$ 求解。这时，只能回归本质，从初等变换的角度考虑.观察两个矩阵，发现可以通过两步变换把 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_转置_80$ 变成 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_转置_156$ ：（1）第一行加到第二行；（2）第二行的两倍加到第三行。即
$线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_线性代数_157$

4.4 用初等变换求逆矩阵

根据4.3节中重要推论，可逆矩阵一定可以经过有限次初等行变换化为同阶单位矩阵，对于可逆矩阵 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_逆矩阵_04$ ，有有限个初等矩阵，使得
$线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_转置_159$
如果把 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_线性代数_160$ 看成一个整体，可以发现，对 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_逆矩阵_04$ 执行这一系列行变换，可以得到 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_转置_02$ ；对 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_转置_02$ 执行同一系列行变换，可以得到 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_线性代数_09$ ，这启发我们可以使用以下方法求逆矩阵
这种方法适用于求具体矩阵的逆，示例如下

4.5 等价矩阵和矩阵的等价标准型

等价矩阵：设 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_逆矩阵$ 都是 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_转置_166$ 维矩阵，若存在可逆矩阵 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_逆矩阵_167$ 使得 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_线性代数_168$ ，则称 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_逆矩阵$ 是等价矩阵，记作 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_伴随矩阵_170$
矩阵等价标准型： $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_逆矩阵_04$ 是一个 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_转置_166$ 矩阵，则 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_逆矩阵_04$ 等价于形如 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_线性代数_174$ 的矩阵（其中 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_转置_175$ 是尺寸为 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_初等矩阵_176$ 的单位矩阵），称为 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_逆矩阵_04$ 的等价标准型。等价标准型是唯一的，即若 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_伴随矩阵_178$ ，存在可逆矩阵 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_伴随矩阵_179$ 使得
$线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_转置_180$ 注意到这本质上就是混合进行初等行列表换，以将原始矩阵 $线性代数（3）—— 逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵_转置_69$ 。一种普适的化法如下