定义一个形如 \(x=a+bi\) 的数为复数。
上式中的 \(i\) 为虚数单位，有 \(i\cdot i=-1\)。
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两个复数 \(x\) 和 \(y\) 相等，当且仅当 \(x_a=y_a\) 且 \(x_b=y_b\)。
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对于一个复数 \(x\)，我们称 \(a\) 为 \(x\) 的实部，\(b\) 为 \(x\) 的虚部。
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当 \(a=0\) 时，称 \(x\) 为纯虚数。
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容易发现，复数可以用数对 \((a,b)\) 的形式表现出来。若将 \((a,b)\) 看作平面直角坐标系上的一个点，全体复数可以一一对应。
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将平面直角坐标系的横坐标视为实部，纵坐标视为虚部，此时这个具有与复数一一对应关系的平面叫做复平面。
- 定义复数 \(x=a_1+b_1i\) 和 \(y=a_2+b_2i\) 的加法。
容易证明，复数加法满足交换律。
- 定义复数 \(x=a_1+b_1i\) 和 \(y=a_2+b_2i\) 的乘法。
容易证明，复数乘法满足交换律。
记 \(-x=(-1)\cdot x\)，因此 \(x-y=x+(-1)\cdot y\)。
具体的，令复数 \(z=a+bi\)，其中 \(a=-1,b=0\)，那么就有了如下的定义。
- 定义复数 \(x=a_1+b_1i\) 和 \(y=a_2+b_2i\) 的减法。
容易发现，复数的加减法就和以下一个过程相同。
在复平面上，原点 \((0,0)\) 和 \((a_1,b_1)\) 表示的数 \(x\) 构成一个向量 \(\vec{A}\)。
同理，原点 \((0,0)\) 和 \((a_2,b_2)\) 表示的数 \(y\) 构成一个向量 \(\vec{B}\)。
我们对向量 \(\vec{A}\) 和 \(\vec{B}\) 作向量加减法。
用较为严谨的语言表示：
复数加减法与复平面上的向量加减法相对应。
定义一个复数 \(x\) 的 模长 \(|x|\) 为其实部与虚部的平方之和的算术平方根（其实就是复平面上点 \(x\) 到原点的欧几里得距离）。
形式化来说，
\[|x|=\sqrt{a^2+b^2} \]定义复数 \(x\) 和 \(y\) 的 距离 \(d(x,y)=|x-y|\)，可以发现以下性质。
- \(d(x,y)\ge 0\)，当 \(d(x,y)=0\) 时，\(x=y\)。
- \(d(x,y)=d(y,x)\)。
- \(d(x,y)+d(x,z)>d(y,z)\)。
我们称满足以上三个性质的 \((\mathbb{C},d)\) 为一个 度量空间。
容易证明，\(|x\cdot y|=|x|\cdot |y|\)。
复数 \(x=a+bi\) 可以被表示为 \(r(\cos\theta+\sin\theta \cdot i)\) 的形式，且表示方法唯一。
我们将这样的表示方法称为 三角表示。
上图为复数 \(x=a+b_i\) 在复平面上的三角表示。
其中，\(r\) 即为 \(x\) 的 模长。
定义上图中的角度 \(\theta\) 为 \(x\) 的 幅角。容易发现，\(x\) 的幅角有无限个，但在 \(\left ( -\pi ,\pi \right ]\) 的范围内只有一个。将这个唯一的值称为 幅角主值，表示为 \(\theta=\arg(x)\)。
设复数 \(x=r_1(\cos\theta_1+\sin\theta_1\cdot i)\)，\(y=r_2(\cos\theta_2+\sin\theta_2\cdot i)\)。
有：
\[\begin{aligned} xy&=r_1r_2(\cos\theta_1+\sin\theta_1\cdot i)(\cos\theta_2+\sin\theta_2\cdot i)\\ &=r_1r_2[(\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2)+(\sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2)]\\ &=r_1r_2[\cos(\theta_1+\theta_2)+\sin(\theta_1+\theta_2)\cdot i] \end{aligned} \]由于复数的乘法和除法互为逆运算，故两个复数之商（第二个复数非零）的模长为两个复数模长之商，辐角为两个复数辐角之差。
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