概率题总结（gpt写的

期望的性质

1. 线性性 (Linearity)
   对任意两个随机变量 \(X, Y\) 和常数 \(a, b\)，无论 \(X,Y\) 是否独立，期望满足：

   \[\mathbb{E}[X+Y] = \mathbb{E}[X] + \mathbb{E}[Y], \quad \mathbb{E}[aX+b] = a\mathbb{E}[X] + b. \]

2. 单调性 (Monotonicity)
   若随机变量 \(X\) 和 \(Y\) 几乎处处满足 \(X \leq Y\)，则：

   \[\mathbb{E}[X] \leq \mathbb{E}[Y]。 \]

3. 有界性 (Boundedness)
   若几乎处处有 \(X \leq M\)，则：

   \[\mathbb{E}[X] \leq M。 \]

4. 独立下的乘积期望 (Multiplicativity under Independence)
   若 \(X\) 和 \(Y\) 独立，则：

   \[\mathbb{E}[XY] = \mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]。 \]

5. Jensen不等式 (Jensen's Inequality)
   若 \(g\) 为凸函数，则：

   \[\mathbb{E}[g(X)] \geq g(\mathbb{E}[X])。 \]

   若 \(g\) 为凹函数则不等式方向相反。

6. 可加性 (Additivity)
   对于有限个或可数多个随机变量 \(X_1, X_2, \ldots\)，只要期望有定义（如绝对可积或非负），则：

   \[\mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^n X_i\right] = \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[X_i], \]

   若 \(\sum_{i=1}^\infty \mathbb{E}[X_i]\) 收敛，则：

   \[\mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^\infty X_i\right] = \sum_{i=1}^\infty \mathbb{E}[X_i]. \]

总结：
期望的线性性是最基本、最常用的性质，在计算复杂期望时非常有用。其它性质（如单调性、Jensen不等式）在比较期望值或为其找到上下界时同样有助益。

期望题的解题思路总结

1. 明确随机变量和事件
   首先，要清楚题中要求的期望是什么：是期望的次数、期望的和、期望的代价或其他量？在此基础上确定问题中的随机变量或随机过程。

2. 建立状态与期望方程
   很多期望问题可以通过定义状态来建立方程。

   • 定义 dp(x) 表示在状态 x 下所求的期望值（如还需达到某条件所需的期望次数）。
   • 考虑从状态 x 一次随机事件后的转移及其概率，从而写出期望的递推关系：
     [
     \(\text{E}[X] = \sum (\text{概率} \times \text{后续状态期望}) + \text{当前增量/成本}\)
     ]

3. 求解线性方程
   在期望方程中，有时 dp(x) 会出现在等式右侧。这种情况需要将相关项移到等式左侧，从而形成:
   \(\[ dp(x)(1 - p) = \text{已知量} + \text{其他已知期望值} \]\)
   然后求解出 dp(x)。
   通常可以自底向上递推求解，或通过一定的代数变换获得最终结果。

4. 边界条件与初始值
   为了求出 dp(x)，需要已知的边界条件。例如，当不再需要满足任何条件时，期望值往往为 0，这些条件可作为起点来向其他状态递归或迭代计算。

5. 化简与优化
   对于复杂的期望问题，直接计算可能较慢或不易实现。可尝试：

   • 使用前缀和、差分等技巧加速概率与期望的计算。
   • 利用线性期望的性质（期望的线性性）对复杂期望进行分解。
   • 运用概率论、马尔可夫链或状态分解的方法简化。

6. 线性期望与独立性
   当问题由多个独立过程组成时，利用期望的线性性可以将总期望分解为各部分期望之和，无需关心变量间的独立性问题。
   若复杂度和状态非常庞大，尝试将问题分解成若干独立子问题的期望进行叠加。

总结：
期望问题的核心在于通过定义状态、建立期望方程并利用已知边界条件来求解。在此过程中可结合概率的基本性质、线性期望以及必要的优化手段来高效求出最终答案。